√2 – 1 分之 1，也即 1/(√2 – 1)，求其值是一个常见的代数问题。要把它讲透，我们需要用到一些数学技巧，并从多个角度看待它。

直接计算 (错误示范)

有些人可能会尝试直接用计算器算√2的值（大约是1.414），然后减1，再求倒数。虽然可以得到一个近似值，但这不够严谨，也无法体现背后的数学原理。

有理化分母 (标准解法)

正确的方法是 有理化分母。 也就是说，我们要想办法把分母中的根号消掉。 技巧是利用平方差公式： (a + b)(a – b) = a² – b²

1. 乘以共轭表达式： 将 1/(√2 – 1) 的分子和分母同时乘以 (√2 + 1)， 这个 (√2 + 1) 叫做 (√2 – 1) 的 共轭表达式。

   得到：

   [1/(√2 – 1)] * [(√2 + 1)/(√2 + 1)]

2. 简化分母： 根据平方差公式，分母变成：

   (√2)² – 1² = 2 – 1 = 1

3. 简化表达式： 整个表达式就变成了：

   (√2 + 1) / 1 = √2 + 1

所以，1/(√2 – 1) = √2 + 1

几何角度的理解

想象一个正方形，边长为1。那么它的对角线长度是√2（根据勾股定理）。 现在，考虑一个新的矩形，其长为√2+1，宽为√2-1。 那么，这个矩形的面积是：

(√2 + 1)(√2 – 1) = (√2)² – 1² = 2 – 1 = 1

也就是说，这个矩形的面积正好是1。 这提供了一个将√2 – 1和√2 + 1联系起来的几何直观。 (√2 – 1) 和 (√2 + 1) 互为倒数，面积为1的矩形恰好体现了这一点。

近似值与精度

√2是一个无理数，意味着它的十进制表示是无限不循环的。 因此，√2 + 1 也是一个无理数。

如果需要一个近似值，可以使用 √2 ≈ 1.414。 那么 √2 + 1 ≈ 2.414。

需要注意的是，近似值的精度取决于我们对√2取多少位小数。 在不同的情境下，根据需求选择合适的精度。

总结

1/(√2 – 1) 的值为 √2 + 1。 我们通过有理化分母的方法，巧妙地利用平方差公式，将一个看似复杂的分数表达式简化成了一个更简洁的形式。 此外，从几何角度理解和计算近似值也帮助我们更全面地认识这个问题。