(x – 1)² = ? 让我们用多种方式来探索这个看似简单的问题。

方法一：基础代数展开

这是最直接的方法。我们知道 (a – b)² = a² – 2ab + b²。 将 a 替换为 x，将 b 替换为 1， 得到：

(x – 1)² = x² – 2 * x * 1 + 1²
(x – 1)² = x² – 2x + 1

因此，(x – 1)² = x² – 2x + 1

方法二：手动乘开

我们也可以将平方理解为两个相同项相乘：

(x – 1)² = (x – 1) * (x – 1)

然后使用分配律（或FOIL方法，First, Outer, Inner, Last）展开：

• x * x = x²
• x * -1 = -x
• -1 * x = -x
• -1 * -1 = 1

将它们加起来：x² – x – x + 1 = x² – 2x + 1

所以，(x – 1)² = x² – 2x + 1

方法三：几何理解

我们可以将 (x – 1)² 看作一个边长为 (x – 1) 的正方形的面积。

想象一个边长为 x 的大正方形。从中切掉宽为1，长为x的矩形（面积为x）。再切掉另一个宽为1，长为x的矩形（面积为x）。但是，在切两次矩形后，我们减去了边长为1的小正方形两次，需要补回来一次。

• 大正方形面积：x²
• 减去两个矩形：-x – x = -2x
• 补回小正方形：+ 1

所以总面积是：x² – 2x + 1

方法四：特殊值验证

我们可以代入一些特殊的值来验证我们的结果。

• 如果 x = 0, (0 – 1)² = (-1)² = 1, 而 0² – 2 * 0 + 1 = 1. 验证通过。
• 如果 x = 1, (1 – 1)² = 0² = 0, 而 1² – 2 * 1 + 1 = 0. 验证通过。
• 如果 x = 2, (2 – 1)² = 1² = 1, 而 2² – 2 * 2 + 1 = 4 – 4 + 1 = 1. 验证通过。
• 如果 x = -1, (-1 – 1)² = (-2)² = 4, 而 (-1)² – 2 * -1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4. 验证通过。

结论

通过以上多种方法，我们可以得出一致的结论：

(x – 1)² = x² – 2x + 1