(x – 1)² 等于多少？这个问题看起来简单，却可以从多个角度进行解答，并引出一些重要的数学概念。让我们用不同的方式来解读它。
1. 直接展开 (代数方式)
最直接的方法就是将 (x – 1)² 展开，也就是使用平方公式或者直接相乘：
(x – 1)² = (x – 1) * (x – 1)
= x * (x - 1) - 1 * (x - 1)
= x² - x - x + 1
= x² - 2x + 1
所以，(x – 1)² = x² – 2x + 1
2. 使用平方差公式的变体
严格来说，这不是平方差公式，而是完全平方公式。完全平方公式的一般形式是：
(a – b)² = a² – 2ab + b²
在这个例子中，a = x，b = 1。 代入公式，我们得到：
(x – 1)² = x² – 2 * x * 1 + 1²
= x² - 2x + 1
结果仍然是 x² – 2x + 1
3. 几何解释 (图像化思考)
我们可以将 (x – 1)² 理解为一个正方形的面积，这个正方形的边长是 (x – 1)。
- 想象一个边长为 x 的大正方形。
- 从这个大正方形的每一边都减去长度为 1 的部分。
- 剩下的图形就是一个边长为 (x – 1) 的小正方形，它的面积就是 (x – 1)²。
要计算这个小正方形的面积，我们可以从大正方形的面积 x² 中减去被“切掉”的部分。 被切掉的部分包括两个长为 (x – 1)，宽为1的矩形和一个边长为1的小正方形(因为重复切掉了)。
两个矩形的面积是 2 * 1 * (x-1) = 2x – 2
小正方形的面积是 1
所以大正方形的面积减去切掉的部分等于：
x² – (2x – 2) -1 = x² – 2x + 2 -1 = x² – 2x + 1
因此，从几何角度来看，(x – 1)² 仍然等于 x² – 2x + 1
4. 函数角度 (函数图像)
如果我们将 y = (x – 1)² 看作一个函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。 这个抛物线的顶点位于 (1, 0)。
- 当 x = 1 时，y = 0。
- 当 x 远离 1 时，y 的值会越来越大。
这种函数形式在很多问题中都很常见，例如求最小值，或者描述某些物理现象。重要的是理解函数图像与代数表达式之间的关系。
5. 应用实例 (实际用途)
(x – 1)² 这种形式经常出现在各种数学和物理问题中。 例如：
- 完成配方： 将一个二次表达式转化为 (x – a)² + b 的形式，可以更容易地找到该表达式的最小值或最大值。
- 物理运动： 在描述匀加速直线运动时，某些公式可能会包含 (t – t₀)² 这样的项，其中 t 是时间，t₀ 是初始时间。
- 误差分析： 在统计学中，(xᵢ – μ)² 代表某个数据点 xᵢ 与平均值 μ 之间的偏差的平方，是计算方差和标准差的基础。
总结
(x – 1)² = x² – 2x + 1. 虽然只是一个简单的代数展开，但是通过不同的角度（代数、几何、函数）的解读，我们可以更深入地理解数学概念，并将它们应用到实际问题中。希望这些解答能帮助你更好地理解这个问题！