(√2 – 1)² = ?

让我们用不同的视角来剖析这个简单的数学问题，确保你彻底理解。

1. 经典展开法（最直接的方式）

这是大多数人首先想到的方法，也是最基础的方法。利用完全平方公式 (a – b)² = a² – 2ab + b²，我们可以直接展开：

(√2 – 1)² = (√2)² – 2 * √2 * 1 + 1²
= 2 – 2√2 + 1
= 3 – 2√2

因此，(√2 – 1)² = 3 – 2√2

2. 几何解释（形象化理解）

想象一个边长为 √2 的正方形。从中切掉一个边长为1的正方形。剩下的图形可以被分割成四个部分。现在我们要从这个边长为√2的正方形中“减去”一个边长为1的正方形，也就是减去面积1。剩下的区域面积实际上等同于(√2 – 1)² 。

另一种更直观的视角：

• 画一个边长为 √2 的正方形。它的面积是 2。
• 在正方形的左下角画一个边长为 1 的正方形，面积是 1。
• (√2 – 1)² 实际上代表的是，如果我们将原正方形的边长都减少 1，得到的新正方形的面积。你可以想象在原正方形的每条边上都“砍掉”长度为(1 – √2) 的部分。

虽然不能直接用图形算出具体数值，但这种方式有助于理解平方运算的含义，即求面积的过程。

3. 利用已知的近似值（近似计算）

我们知道 √2 的近似值大约是 1.414。那么：

(√2 – 1)² ≈ (1.414 – 1)²
= (0.414)²
≈ 0.171396

而 3 – 2√2 ≈ 3 – 2 * 1.414
= 3 – 2.828
= 0.172

可以看到，近似值计算的结果和精确值非常接近。

4. 与倒数的关系（更深入的理解）

值得注意的是，(√2 + 1) 和 (√2 – 1) 互为倒数，即 (√2 + 1)(√2 – 1) = 1。 利用这个关系，我们可以尝试进行一些变换，但并没有直接简化 (√2 – 1)² 的计算。不过，了解这种关系有助于对无理数的进一步学习。

总结：

(√2 – 1)² = 3 – 2√2

我们通过代数展开、几何解释、近似计算以及倒数关系等多种方式，深入探讨了这个问题。希望这些不同的角度能帮助你更好地理解这个简单的数学表达式。