1 – tan²x 等于什么？这个问题看似简单，却能引出三角函数诸多有趣且重要的性质。下面，我们从不同角度来剖析它。

一、直接公式推导：

这是最直接的方法，使用三角函数的基本定义和平方关系：

• tanx = sinx / cosx

因此，1 – tan²x = 1 – (sin²x / cos²x)

将“1”化为同分母的形式：

1 – (sin²x / cos²x) = (cos²x / cos²x) – (sin²x / cos²x)

合并同类项：

(cos²x – sin²x) / cos²x

根据二倍角公式，我们知道 cos2x = cos²x – sin²x

所以，(cos²x – sin²x) / cos²x = cos2x / cos²x

因此，1 – tan²x = cos2x / cos²x

二、利用二倍角公式的逆用：

我们知道二倍角公式中有一个关于余弦的公式：

cos2x = cos²x – sin²x

同时，三角恒等式告诉我们：

sin²x + cos²x = 1

将 cos2x 公式变形：

cos2x = cos²x – (1 – cos²x) = 2cos²x – 1

或者，cos2x = (1 – sin²x) – sin²x = 1 – 2sin²x

这些变化看起来似乎与1 – tan²x无关，但请记住，我们最终的结果是 cos2x / cos²x。 让我们回到最初的推导：

1 – tan²x = (cos²x – sin²x) / cos²x = cos2x / cos²x

这个形式强调了 cos2x 在表达式中的核心地位。

三、一个不那么“实用”但更具启发性的角度：

虽然我们已经得到了答案，但我们可以尝试从其他角度思考。 假设我们需要一个只包含正切函数的表达式来表示 cos2x / cos²x，这几乎是不可能的，除非我们接受“隐式”地使用正切。 事实上，最终结果已经是最简形式了。 任何进一步的“化简”都可能使其变得更加复杂，而不是更加简单。

四、为什么要关注 1 – tan²x ？

尽管它不像 sin²x + cos²x = 1 那么常见，但 1 – tan²x 的这种形式经常出现在涉及正切函数的积分、微分和方程中。 理解并熟练运用这个变换能够简化问题，提高解题效率。 尤其是在涉及三角函数换元时，这种形式的变形能力显得尤为重要。

总结：

1 – tan²x 等于 cos2x / cos²x。理解这个等式需要掌握三角函数的基本定义、平方关系和二倍角公式。 虽然它可能不像其他三角恒等式那么“著名”，但在解决某些三角函数相关问题时，它却能发挥关键作用。记住这个结果，并学会灵活运用，会让你的三角函数知识更加扎实。