1减去正切的平方，也就是：

1 – tan²(x)

这个表达式的结果是多少呢？ 这需要分情况讨论，并从不同角度去理解。

直接三角恒等式法 (教科书式讲解):

最直接的方式是利用三角恒等式。 我们知道有这样一个恒等式：

sec²(x) = 1 + tan²(x)

其中，sec(x)是正割函数，定义为余弦函数的倒数，即 sec(x) = 1/cos(x)。

如果我们对这个等式进行一些简单的移项，就可以得到：

1 – tan²(x) = 2 – sec²(x)

这个形式虽然正确，但是并没有直接把原式化简成一个更常见或更简洁的形式。 实际上，1 – tan²(x)并没有一个“标准”的简化结果，除非我们将其与其它三角函数联系起来。

另一种思路：倍角公式 (进阶讲解):

我们回忆一下余弦函数的倍角公式：

cos(2x) = cos²(x) – sin²(x)

将等式两边同时除以 cos²(x)，得到:

cos(2x) / cos²(x) = 1 – sin²(x) / cos²(x)

因为 tan(x) = sin(x) / cos(x)，所以 sin²(x) / cos²(x) = tan²(x)。 那么上式可以写为：

cos(2x) / cos²(x) = 1 – tan²(x)

因此，

1 – tan²(x) = cos(2x) / cos²(x)

这个形式比之前的 2 – sec²(x) 稍微有用一些，因为它将 1 – tan²(x) 与 cos(2x) 联系起来了。

举例与应用 (实际应用):

假设 x = π/4 (45度)。 那么 tan(x) = tan(π/4) = 1。 因此，

1 – tan²(π/4) = 1 – 1² = 0

代入我们推导的公式：

cos(2 * π/4) / cos²(π/4) = cos(π/2) / cos²(π/4) = 0 / (√2/2)² = 0

结果一致。

总结:

总而言之，1 – tan²(x) 并没有一个能够直接记住的简洁结果。 你可以将它表示为 2 – sec²(x) 或者 cos(2x) / cos²(x)。 具体使用哪种形式，取决于你想要解决的问题和上下文。 记住，灵活运用三角恒等式才是关键。

需要注意的点:

• 以上推导和结论都建立在tan(x)和sec(x)有定义的范围内，即 x ≠ π/2 + kπ (k为整数)，因为在这些点，cos(x) = 0，tan(x)和sec(x)无定义。
• 三角函数的变换需要熟练掌握各种恒等式，并根据具体情况选择合适的公式。
• 在实际应用中，需要注意角度的单位（弧度或度数）。