(2x – 1)² 等于多少？这个问题看着简单，但蕴含着代数的精髓。 我们将从多个角度、用多种方式来解答它，确保你理解得透彻。
一、直接展开法（最基础，最常用）
这是解决这类问题的首选方法，简单直接，不易出错：
(2x – 1)² = (2x – 1) * (2x – 1)
接下来，我们使用分配律（也就是常说的“多项式乘以多项式”）：
= 2x * (2x – 1) – 1 * (2x – 1)
= (2x * 2x) – (2x * 1) – (1 * 2x) + (1 * 1)
= 4x² – 2x – 2x + 1
= 4x² – 4x + 1
所以， (2x – 1)² = 4x² – 4x + 1
二、公式法（效率更高，更简洁）
利用完全平方公式：(a – b)² = a² – 2ab + b²
在这个问题中，a = 2x， b = 1
那么，直接代入公式：
(2x – 1)² = (2x)² – 2 * (2x) * 1 + 1²
= 4x² – 4x + 1
和展开法的结果完全一致！公式法更快捷，但前提是要记住公式。
三、几何解释（形象直观，加深理解）
想象一个边长为 (2x) 的正方形。 现在，我们从中挖去一个边长为 1 的正方形，同时为了保持挖去的是一个“角”，我们需要再挖去两个长为 (2x-1)，宽为1 的矩形。
整个过程的面积变化如下：
- 初始正方形面积： (2x)² = 4x²
- 挖去一个正方形后剩余面积: 4x² – 1² = 4x² – 1
- 再挖去两个矩形，挖去的总面积是:2(2x-1)1 = 4x-2
最终剩余的图形是一个边长 (2x-1) 的正方形，面积为(2x-1)²， 那么它的面积等于初始正方形面积减去所有挖掉的面积:
(2x-1)² = 4x² – 1 – (4x-2) = 4x² – 4x + 1
这种方式更形象地展示了代数表达式的几何意义。
四、特殊值验证法（检验答案，避免错误）
为了验证我们的结果是否正确，可以代入一个简单的数值来检验。例如，令 x = 2：
- 原式： (2 * 2 – 1)² = (4 – 1)² = 3² = 9
- 结果： 4 * 2² – 4 * 2 + 1 = 4 * 4 – 8 + 1 = 16 – 8 + 1 = 9
由于两者的结果相等，我们更有信心我们的答案是正确的。 可以尝试其他数值，如果代入后等式不成立，那说明计算一定有误。
五、易错点提示
- 符号错误： 展开时一定要注意负号的处理，特别是
-(1 * 2x)这一步。 - 漏项： 展开后一定要检查是否所有项都已正确计算。
- 公式记错： 熟记完全平方公式，避免张冠李戴。
- 忽视括号： 使用公式法时，务必将 (2x) 看作一个整体。
总结
(2x – 1)² = 4x² – 4x + 1。 我们从直接展开、公式运用、几何解释和特殊值验证多个角度进行了详细解答。 掌握这些方法，你就能轻松应对类似的代数问题，并且对代数运算的理解也会更上一层楼。