sec²x – 1 = tan²x
这是三角函数中的一个基本恒等式，理解它并记住它对于解决许多三角问题至关重要。下面将从多个角度来解释为什么 sec²x – 1 等于 tan²x。
1. 从毕达哥拉斯定理出发：
这是最直观的解释方式。首先回忆毕达哥拉斯定理：
a² + b² = c² (直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方)
现在，考虑一个半径为1的单位圆。在圆上取一点 P(x, y)，并从 P 向 x 轴作垂线，垂足为 A。这样就构成了一个直角三角形 OAP，其中 OA = x，AP = y，OP = 1。 根据毕达哥拉斯定理，我们有：
x² + y² = 1
现在，将上式两边同时除以 x²，得到：
(x²/x²) + (y²/x²) = (1/x²)
化简得：
1 + (y/x)² = (1/x)²
根据三角函数的定义：
- tan x = y/x (正切是正弦除以余弦，也就是对边除以邻边)
- sec x = 1/x (正割是余弦的倒数)
将这些代入上面的等式，得到：
1 + tan²x = sec²x
最后，将等式两边同时减去1，得到：
sec²x – 1 = tan²x
2. 从三角函数定义出发：
回顾三角函数的定义：
- sin x = 对边/斜边
- cos x = 邻边/斜边
- tan x = 对边/邻边 = sin x / cos x
- sec x = 斜边/邻边 = 1 / cos x
我们知道基本三角恒等式：
sin²x + cos²x = 1
将上式两边同时除以 cos²x，得到：
(sin²x / cos²x) + (cos²x / cos²x) = (1 / cos²x)
化简得：
tan²x + 1 = sec²x
所以：
sec²x – 1 = tan²x
3. 几何角度理解：
想象单位圆上一个点P，连接圆心O和P点，形成半径OP。过P点作x轴的垂线，交x轴于A点。再过A点作单位圆的切线，交OP的延长线于T点。
- OA = cosx
- AP = sinx
- OT = secx
- AT = tanx
由于OAT为直角三角形，根据勾股定理：
OA² + AT² = OT²
即：
cos²x + tan²x = sec²x
我们又知道cos²x + sin²x = 1，两式联立，整理后可得：
sec²x – 1 = tan²x
4. 应用举例：
了解这个恒等式有什么用呢？ 它可以简化三角函数表达式和解决三角方程。 例如：
-
化简表达式： 假设你要化简表达式
(sec²x - 1) * cos²x。 使用恒等式，可以将其简化为tan²x * cos²x = (sin²x / cos²x) * cos²x = sin²x。 -
解决三角方程： 假设你要解方程
sec²x - 1 = 3。 可以使用恒等式将其转化为tan²x = 3，然后解 tan x = ±√3，得到 x 的解。
总结：
sec²x – 1 = tan²x 是一个非常重要的三角恒等式。 通过毕达哥拉斯定理、三角函数的定义以及几何图形，我们从不同角度理解了这个等式。掌握这个恒等式可以帮助我们简化三角函数表达式和解决相关问题。 记住它，并灵活运用！