1 – sin²x 等于多少？ 答案是 cos²x (余弦的平方)。

下面从不同角度来解释这个恒等式：

1. 几何直观：单位圆

想象一个半径为1的单位圆。在圆上取一点 P(x, y)，设原点 O 到 P 的连线与 x 轴正方向的夹角为 x。

• 那么，根据三角函数的定义：

  • sin x = y （P 点的纵坐标）
  • cos x = x （P 点的横坐标）
  • 现在，连接 O、P 和 P 到 x 轴的垂足，构成一个直角三角形。斜边 OP 的长度是 1 (半径)。
  • 根据勾股定理：x² + y² = 1²
  • 将 x 和 y 用三角函数替换： (cos x)² + (sin x)² = 1
  • 整理一下，就得到了著名的三角恒等式：sin²x + cos²x = 1

移项一下， 立马得到：1 – sin²x = cos²x

2. 代数推导：毕达哥拉斯定理的体现

其实上面单位圆的解释，本质上就是利用毕达哥拉斯定理。 换个说法：

• 毕达哥拉斯定理 (勾股定理): a² + b² = c²
• 在单位圆这个特殊情况下，斜边 c = 1, 两个直角边可以看成 sin x 和 cos x。
• 所以 (sin x)² + (cos x)² = 1²
• 同样，移项得到：1 – sin²x = cos²x

3. 记忆技巧：

记住 sin²x + cos²x = 1 这个最基本的公式，然后简单移项即可。就像记住 a + b = c, 自然就知道 c – a = b 一样。

4. 应用场景：

这个恒等式在三角函数化简、积分、解方程等问题中非常有用。

• 化简：例如， 表达式 (1 – sin²x) / cos x 可以化简为 cos²x / cos x = cos x
• 积分：例如，∫ (1 – sin²x) dx 可以转换为 ∫ cos²x dx, 然后用其他方法进行积分。

总结：

1 – sin²x = cos²x 是一个基础且重要的三角恒等式， 记住它、理解它的几何意义，并且熟练运用，将会在解决很多数学问题时事半功倍！