1 – cos(x) 等于什么？这看似简单的问题，实则蕴含着丰富的数学内涵。答案取决于你想要的是什么形式的表达：

1. 最直接的回答：1 – cos(x)

嗯，对，就是它本身。这是最朴素、最直接的答案。数学上，直接给出原始形式，不加化简，也是一种正确的答案。

2. 利用三角恒等式变换：

这才是问题的重点，我们通常希望将它转换成更方便计算或分析的形式。这里我们可以使用半角公式：

• sin²(x/2) = (1 – cos(x)) / 2

所以，1 – cos(x) = 2sin²(x/2) （这是最常用的变换形式！）

3. 几何意义的解释 (针对x在特定范围):

如果 x 在 0 到 π 之间 (0 ≤ x ≤ π)， 想象一个单位圆。 cos(x) 是圆上对应角度 x 的点的横坐标。 1 – cos(x) 实际上代表了该点到圆的最左端点 (-1, 0) 的水平距离的增加量。 因为单位圆最右端点横坐标为1, 最左端点横坐标为-1，所以 1 - cos(x) 代表距离增加了多少，但注意，这里的距离是针对横坐标而言。

4. 泰勒级数展开 (适用于 x 接近 0 的情况):

当 x 接近 0 时，我们可以使用泰勒级数来近似表示 cos(x)：

• cos(x) ≈ 1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! + …

所以，

• 1 – cos(x) ≈ 1 – (1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! + …) = x²/2! – x⁴/4! + x⁶/6! – …

当 x 非常接近 0 时，更高阶的项可以忽略，所以 1 – cos(x) ≈ x²/2 。 这非常有用，例如在物理学中，处理小角度近似时。

5. 应用场景举例：

• 极限问题： 在计算极限时，例如 lim (x→0) (1 – cos(x)) / x²， 使用 1 - cos(x) = 2sin²(x/2) 会更容易求解。 因为 lim (x→0) sin(x)/x = 1， 所以原式等于 lim (x→0) 2sin²(x/2) / x² = 2 * (1/2)² = 1/2。

• 物理学： 单摆的运动中，当摆角很小时，可以用小角度近似，将 1 - cos(θ) 近似为 θ²/2，简化能量计算。

• 计算机图形学： 计算光照模型时，可能会用到cos函数，而1 - cos(x)可以用来计算漫反射光照的衰减。

总结：

1 - cos(x) 的答案是多样的，具体选择哪种形式取决于实际的应用场景。最常用、最重要的结论是：

1 – cos(x) = 2sin²(x/2)

希望以上分析能让你彻底理解 1 – cos(x) 的含义以及各种可能的表示方式。记住，数学不仅仅是公式，更重要的是理解其背后的思想和应用。