a – a² 等于多少，这个问题看似简单，实则蕴含着代数世界的诸多奥妙。 让我们从不同角度，将它彻底剖析。

1. 最直接的解答：提取公因式

最直接的方法是提取公因式 a：

a – a² = a(1 – a)

这就是最简洁的表达形式。 这意味着，结果取决于 a 的取值。

2. 例子驱动：代入数值感受

• 当 a = 0 时， a – a² = 0 – 0² = 0
• 当 a = 1 时， a – a² = 1 – 1² = 0
• 当 a = 2 时， a – a² = 2 – 2² = 2 – 4 = -2
• 当 a = -1 时，a – a² = -1 – (-1)² = -1 – 1 = -2
• 当 a = 0.5 时，a – a² = 0.5 – 0.5² = 0.5 – 0.25 = 0.25

从这些例子中可以看出， a 的不同取值，会导致结果呈现出不同的正负和大小。

3. 函数视角：抛物线的魅力

我们可以将 a – a² 视为一个关于 a 的函数 f(a) = a – a²。 这是一个二次函数，其图像是一条开口向下的抛物线。

• 顶点： 抛物线的顶点代表函数的最大值。 我们可以通过配方法找到顶点的坐标：

  f(a) = -a² + a = -(a² – a) = -(a² – a + 1/4) + 1/4 = -(a – 1/2)² + 1/4

  因此，顶点坐标为 (1/2, 1/4)。 这意味着当 a = 1/2 时，a – a² 取得最大值 1/4。

• 零点： 抛物线与 x 轴的交点代表函数的零点，也就是 a – a² = 0 的解。 我们已经知道，当 a = 0 和 a = 1 时，a – a² = 0。

• 对称性： 抛物线关于直线 a = 1/2 对称。

从函数的角度来看，我们不仅知道了 a – a² 的值取决于 a，还了解了其变化趋势，以及最大值点。

4. 几何意义：矩形的面积

可以将 a – a² 理解为一个矩形的面积。 假设一个正方形的边长为 a，那么其面积为 a² 。 现在，我们从这个正方形中“减去”了 a²，剩下的部分可以视为另一个矩形的面积。 具体如何理解，取决于如何拆分这个正方形。一种拆分方法如下：设一个矩形的长为1，宽为a，其面积为a。从这个矩形中减去边长为a的正方形，剩下的部分面积就是a-a²。

5. 极限思想：无限接近

当 a 非常接近 0 时，a² 比 a 更接近 0。 例如，如果 a = 0.001，那么 a² = 0.000001。 在这种情况下，a – a² ≈ a。

当 a 趋向于无穷大时，-a² 起决定性作用，a – a² 趋向于负无穷大。

总结：

a – a² = a(1 – a)。 它的值取决于 a 的取值。 我们可以从代数、函数、几何等多个角度理解它。 它不仅仅是一个简单的表达式，更是一个连接数学各个分支的桥梁。 通过深入理解它，我们能更好地掌握代数、函数和几何的核心概念。