tan多少度等于 2 – √3 ？ 答案是 15 度。 现在我们就来抽丝剥茧，用不同的方法证明和理解这个答案。
一、几何证明（简洁直观）
我们可以构造一个特殊的直角三角形。 考虑一个 30-60-90 的直角三角形 ABC，其中∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°。设 AC = 1。
- 则 BC = tan(30°) = 1/√3 = √3/3
- AB = 2BC = 2√3/3
现在，在AB上取一点D，使得CD = CB = √3/3。 这样，三角形BCD就是一个等腰三角形， ∠CDB = ∠CBD 。
设∠CDB = x， 那么 ∠BCD = 180° – 2x。 且 ∠ACD = 90° – (180° – 2x) = 2x – 90° 。
同时，根据正弦定理，在三角形ACD中，
AD / sin(2x-90°) = AC / sin(∠ADC) = AC/ sin(x)
因为∠CDB 和 ∠ADC 是邻补角， 所以∠ADC + ∠CDB = 180°，所以∠ADC = 180° – x， 而sin(180°-x) = sin(x)
所以 AD = AC * sin(2x-90°)/sin(x) = – cos(2x) / sin(x)
而且 AD = AB – DB = AB – CB = 2√3/3 – √3/3 = √3/3
于是, – cos(2x) / sin(x) = √3/3
- (1 – 2sin²(x)) / sin(x) = √3/3
-1/sin(x) + 2sin(x) = √3/3
令 y = sin(x), 则 -1/y + 2y = √3/3
2y² – √3/3 y – 1 = 0
6y² – √3 y – 3 = 0
y = (√3 ± √(3+463)) / 12 = (√3 ± √75) / 12 = (√3 ± 5√3) / 12
因为sin(x) > 0, 取正值， y = (6√3) / 12 = √3/2
故 sin(x) = √3/2 , x = 60°。 那么∠ACD = 2*60° – 90° = 30°。
最后，作CE垂直于AD, 则 ∠DCE = 60° 。 在直角三角形CDE中, tan(∠CDE) = CE/DE。 而 tan(∠CDE) = tan(∠CDB) = tan(x) = tan(60°) = √3.
接下来，我们可以计算∠CAD。 ∠CAD = 30°， 那么∠CDA = (180°-30°)/2 = 75°
∠BCD = 180 – 2 * 75 = 30°。 ∠ACB = 90°，所以 ∠ACD = 60°。
这个方法有点问题，可以考虑下述方法
接下来， 我们可以构造一个75-75-30度的三角形，然后对边长进行计算。或者构造一个15-75-90度的直角三角形。
构造一个直角三角形ABC，∠C=90°，∠A=15°， 则tan(15°) = BC/AC
作AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E， 连接BE。则AE=BE。 ∠ABE = ∠A = 15°。 ∠BEC = ∠ABE + ∠A = 30°
在三角形BEC中， 设BC=1，则 EC = √3， AC = AE + EC = BE + EC
BE/sin(90°) = BC/sin(30°) –> BE = 2BC = 2。 所以 AC = 2 + √3
tan(15°) = BC/AC = 1 / (2+√3) = (2-√3)/((2+√3)(2-√3)) = 2-√3
二、三角函数公式推导（严谨细致）
利用半角公式：
tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x)
令 x/2 = 15°，则 x = 30°。 我们知道 sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2。
代入公式：
tan(15°) = (1 - √3/2) / (1/2) = 2 - √3
或者
tan(15°) = (1/2) / (1 + √3/2) = 1 / (2 + √3) = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3
利用和角公式：
tan(45° - 30°) = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° * tan 30°)
我们知道 tan 45° = 1，tan 30° = 1/√3 = √3/3。
代入公式：
tan(15°) = (1 - √3/3) / (1 + √3/3) = (3 - √3) / (3 + √3)
分子分母同乘以 (3 – √3)：
tan(15°) = (3 - √3)² / (9 - 3) = (9 - 6√3 + 3) / 6 = (12 - 6√3) / 6 = 2 - √3
三、倍角公式反推（逆向思维）
假设 tan θ = 2 – √3。 我们想知道 θ 是多少。
考虑 tan 2θ = (2 tan θ) / (1 – tan² θ)。
代入 tan θ = 2 – √3：
tan 2θ = [2 * (2 - √3)] / [1 - (2 - √3)²] = (4 - 2√3) / [1 - (4 - 4√3 + 3)] = (4 - 2√3) / (-6 + 4√3)
分子分母同乘以 (-6 – 4√3)：
tan 2θ = [(4 - 2√3) * (-6 - 4√3)] / [(-6 + 4√3) * (-6 - 4√3)] = (-24 - 16√3 + 12√3 + 24) / (36 - 48) = (-4√3) / (-12) = √3/3
因为 tan 30° = √3/3，所以 2θ = 30°，因此 θ = 15°。
四、数值计算验证（实用主义）
你可以用计算器验证一下。 确保计算器设置为角度制（Degree），然后输入 tan(15)，计算器会显示近似值 0.2679491924。
再计算 2 - √3，得到近似值 0.2679491924。 两者数值相等，验证了 tan(15°) = 2 – √3。
总结
我们从几何、三角函数公式推导、倍角公式反推以及数值计算四个角度，深入探讨了 tan 多少度等于 2 – √3 这个问题，并最终确认答案是 15 度。 希望通过这些不同角度的讲解，你能更全面、更深刻地理解三角函数的关系。