(a – b)² 等于多少？这个问题看似简单，实则蕴含着一些数学知识，让我们从多个角度来分析解答它：

1. 直接展开法 (代数角度)

这是最直接，也是最常用的方法。根据完全平方公式展开：

(a – b)² = (a – b) * (a – b)
= a * a – a * b – b * a + b * b
= a² – 2ab + b²

所以，(a – b)² = a² – 2ab + b²

2. 几何解释 (图形角度)

我们可以用几何图形来直观理解这个公式。

• 想象一个边长为 a 的正方形，其面积为 a²。

• 现在，在这个正方形的一条边上截去一段长度为 b 的距离（b < a）。

• 结果我们会得到一个边长为 (a – b) 的正方形和一个矩形。 我们需要计算 (a-b) 的正方形的面积，即 (a-b)²。

• 我们从 a² (大正方形) 中减去一个面积为 b * (a – b) 的矩形， 再减去另一个面积为 b * (a-b)的矩形。这样就剩余 (a – b)²

• 将矩形展开：
  a² – b(a – b) – b(a – b) = a² – ab + b² – ab + b² = a² – 2ab + 2b²

• 但是你会发现我们减去了两次 (b)² , 所以要加上(b)² 的部分

• 正确的算式是： a² – (ab-b²) – (ab-b²) = a² – 2ab + 2b² -b² = a² – 2ab + b²

• 另一种理解是，你从a²中减去了两个面积为ab的矩形， 但又多减去了一块边长为b的正方形（b²)，所以需要加上b²补回来。

• 因此，(a – b)² = a² – 2ab + b²

3. 特例代入法 (举例角度)

为了验证公式的正确性，我们可以代入一些具体的数值。

• 例子 1: 设 a = 5, b = 2

  (a – b)² = (5 – 2)² = 3² = 9

  a² – 2ab + b² = 5² – 2 * 5 * 2 + 2² = 25 – 20 + 4 = 9

• 例子 2: 设 a = 10, b = 3

  (a – b)² = (10 – 3)² = 7² = 49

  a² – 2ab + b² = 10² – 2 * 10 * 3 + 3² = 100 – 60 + 9 = 49

通过这些例子可以看出，无论 a 和 b 取什么值，(a – b)² 总是等于 a² – 2ab + b²。

4. 与(a+b)² 的对比 (关联角度)

熟悉 (a + b)² 的公式有助于理解 (a – b)²。

(a + b)² = a² + 2ab + b²

可以看到，两者的区别在于中间项的符号。 (a + b)² 中间项是 +2ab，而 (a – b)² 中间项是 -2ab。这是因为 (a – b) 可以看作 (a + (-b))，所以中间项是 2 * a * (-b) = -2ab。

5. 应用场景 (实际角度)

(a – b)² 这个公式在很多数学问题中都有应用，例如：

• 化简代数式: 可以用于化简复杂的代数表达式。
• 解方程: 在解某些方程时，需要用到完全平方公式进行配方。
• 几何计算: 在计算某些几何图形的面积或体积时，可能需要用到这个公式。
• 统计学 方差和标准差的计算会用到

总而言之， (a – b)² = a² – 2ab + b² 这个公式是代数学中的一个基础且重要的公式，它不仅可以用代数方法推导，还可以用几何图形解释，并且在很多实际问题中都有应用。掌握这个公式对于学习数学非常有帮助。