cosx – sinx 等于多少？ 这是一个看似简单，实则需要一些技巧才能解答的问题。
从数值计算角度看：
直接说 cosx - sinx 等于某个具体的数值是不可能的。原因很简单：x 是一个变量，不同的 x 值会得到不同的结果。 比如：
- 当 x = 0 时， cos(0) – sin(0) = 1 – 0 = 1
- 当 x = π/2 时， cos(π/2) – sin(π/2) = 0 – 1 = -1
- 当 x = π/4 时， cos(π/4) – sin(π/4) = √2/2 – √2/2 = 0
所以，cosx - sinx 的值依赖于 x 的取值。 它本身就是一个关于 x 的表达式，而不是一个固定的数值。
从函数变换角度看：
虽然不能简化成一个数值，但是我们可以将 cosx - sinx 进行函数变换，将其转换成另一种形式，这种形式在某些情况下可能更有用。 我们可以利用三角恒等变换将其化简为振幅相位形式：
cosx - sinx = Acos(x + φ)
其中 A 是振幅， φ 是相位。
那么如何确定 A 和 φ 呢？
展开 Acos(x + φ) :
Acos(x + φ) = A(cosxcosφ - sinxsinφ) = Acosφcosx - Asinφsinx
要让 Acosφcosx - Asinφsinx = cosx - sinx， 我们需要满足：
Acosφ = 1（cosx的系数相等）Asinφ = 1（sinx的系数相等）
将这两个等式平方后相加：
(Acosφ)² + (Asinφ)² = 1² + 1²
A²(cos²φ + sin²φ) = 2
因为 cos²φ + sin²φ = 1， 所以 A² = 2， 那么 A = √2 （通常取正值）。
现在，我们有：
√2 cosφ = 1=>cosφ = 1/√2 = √2/2√2 sinφ = 1=>sinφ = 1/√2 = √2/2
同时满足 cosφ = √2/2 和 sinφ = √2/2 的 φ 是 π/4 (或 45°)。
因此：
cosx - sinx = √2 cos(x + π/4)
总结：
cosx - sinx的值不是一个固定的数值，而是依赖于变量x。- 我们可以通过三角恒等变换将其表示成
√2 cos(x + π/4)这种形式。 - 这种转换在解决一些三角函数问题时非常有用，例如求最大值、最小值、或者解方程等等。
示例应用：
假设我们需要求函数 f(x) = cosx - sinx 的最大值。 直接看 cosx - sinx 可能不太容易，但是如果我们将其转化为 √2 cos(x + π/4)， 问题就变得简单了。
因为 cos(x + π/4) 的最大值是 1，所以 √2 cos(x + π/4) 的最大值是 √2。 因此， f(x) = cosx - sinx 的最大值是 √2。
可视化：
如果我们绘制 y = cosx - sinx 和 y = √2 cos(x + π/4) 的图像，你会发现它们完全重合，这验证了我们的转换是正确的。
综上所述，cosx - sinx 等于 √2 cos(x + π/4)， 关键是理解其背后的三角恒等变换和应用。