1 – x³ 等于多少？ 这看似简单的问题，其实蕴含着丰富的数学知识，可以从多个角度进行解答和理解。

1. 直接因式分解：数学的优雅

这是最直接也最常用的方法。利用立方差公式：a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)，我们可以把1 – x³ 看作是 1³ – x³ 的形式，那么：

1 – x³ = (1 – x)(1² + 1*x + x²)
= (1 – x)(1 + x + x²)

这就是1 – x³ 的因式分解结果。 因此，1 – x³ 等于 (1 – x)(1 + x + x²)。

2. 几何解释：图形的直观

想象一个边长为1的正方体，我们从中挖去一个边长为x的小正方体。 那么剩下的体积就是1 – x³。

这个剩余的几何体可以分解为几个长方体：

• 一个底面是(1-x)x(1+x)，高为x的长方体；面积为x+x^2-x^2-x^3
• 一个底面为(1-x)(1-x)，高为1的长方体; 面积为 1+x^2-2x

加起来，体积仍然是 (1 – x)(1 + x + x²)。 这种几何解释有助于我们更直观地理解代数公式。

3. 多项式除法：算法的严谨

如果我们不知道立方差公式，可以使用多项式除法。 将 1 – x³ 除以 (1 – x)：

-x² - x - 1
____________________
1 - x | -x³ + 0x² + 0x + 1
-(-x³ + x²)
------------
-x² + 0x
-(-x² + x)
--------
-x + 1
-(-x + 1)
--------
0

结果表明， (1 – x³) / (1 – x) = -x² – x – 1。 那么，1 – x³ = (1 – x)(-x² – x – 1)。 注意到这里得到的 -x² – x – 1 和之前的 1 + x + x² 差一个符号，这是因为我们的除法是 (1-x)除以(1-x³)，而不是 (1-x³)除以(1-x)。因此需要将结果取反，得到 (1 – x³) = (1 – x)(1 + x + x²)。

4. 特殊值验证：检验的有效

我们可以代入一些特殊的x值来验证我们的结果：

• 当 x = 0 时，1 – x³ = 1， (1 – x)(1 + x + x²) = (1 – 0)(1 + 0 + 0²) = 1。
• 当 x = 1 时，1 – x³ = 0， (1 – x)(1 + x + x²) = (1 – 1)(1 + 1 + 1²) = 0。
• 当 x = -1 时，1 – x³ = 1 – (-1)³ = 2， (1 – x)(1 + x + x²) = (1 – (-1))(1 + (-1) + (-1)²) = 2 * 1 = 2。
• 当 x = 2 时， 1 – x³ = 1 – 2³ = -7， (1 – x)(1 + x + x²) = (1 – 2)(1 + 2 + 2²) = (-1)(7) = -7。

这些验证增加了我们对结果正确性的信心。

5. 函数图像：视觉的辅助

我们可以绘制函数 y = 1 – x³ 的图像。 它是一个三次函数，穿过 y 轴于 (0, 1)，并且在 x = 1 处有一个根 (1, 0)。 这个图像也体现了 1 – x³ 的性质。

总结

综上所述，我们可以得出结论：

1 – x³ = (1 – x)(1 + x + x²)

这个结果可以通过因式分解、几何解释、多项式除法和特殊值验证等多种方法得到，每种方法都提供了对这个简单代数式不同层面的理解。