2的101次方减1，即 2¹⁰¹ – 1，实际上是一个非常巨大的数字。 我们先来算算具体数值，再从不同角度理解它。

直接计算：

2¹⁰¹ = 2535301200456458802993406410752

因此，2¹⁰¹ – 1 = 2535301200456458802993406410751

科学计数法表示：

这个数可以近似表示为 2.535 x 10³⁰。 这表示它有31位数！

从二进制角度看：

2¹⁰¹ 在二进制中表示为 1 后面跟着 101 个 0，也就是 “1000…000” (101个0)。

那么 2¹⁰¹ – 1 在二进制中表示什么呢？ 它就是把 2¹⁰¹ 的二进制形式中的最高位 1 变成 0，后面的 101 个 0 全部变成 1，也就是 “111…111” (101个1)。 所以，2¹⁰¹ – 1 实际上就是一个由101个1组成的二进制数。

为什么这个数很重要？与梅森素数的关系：

形如 2^p – 1 的数（其中 p 是素数）被称为梅森数 (Mersenne Number)，记作 M_p。 如果一个梅森数 M_p 恰好也是素数，那么它就被称为梅森素数。

我们的 2¹⁰¹ – 1 是一个梅森数，但问题是：它是素数吗？

要判断一个非常大的数是否为素数，不是一件容易的事情。 对于 2¹⁰¹ – 1，它不是素数。 我们可以通过一些方法（例如卢卡斯-莱默检验法，但超出本文范围）来验证。

举例说明这个数有多大：

• 假设你需要用 2¹⁰¹ – 1 枚硬币来支付一笔账单。即使你每秒钟支付 1000 枚硬币，你需要花费大约 7.8 x 10²¹ 年才能付清！ 这比宇宙的年龄还要大得多！（宇宙年龄约为 1.38 x 10¹⁰ 年）
• 假设你用字节（Byte）来存储信息，而一个字节能存储 8 比特的信息。 那么，2¹⁰¹ – 1 个字节大约等于 3.17 x 10³⁰ 字节，相当于 3.17 x 10²¹ TB (太字节)。 即使你拥有全球所有硬盘的总容量，也无法存储这么多的信息！

总结：

2¹⁰¹ – 1 等于 2535301200456458802993406410751。 这是一个巨大的数字，不仅仅是因为它的绝对数值很大，还因为它与二进制、梅森素数等概念相关联。 虽然它不是素数，但它很好地展示了指数增长的威力，以及大数在数学和计算机科学中的重要性。 通过不同的角度分析，我们更能理解这个数字的意义和量级。