(x – 1)³ 等于多少？ 这个问题看似简单，实则蕴含着代数运算中的重要概念。我们从不同的角度来剖析它：
一、直接展开法：稳扎稳打
这是最直观的方法，利用乘法分配律一步一步展开：
(x – 1)³ = (x – 1) * (x – 1) * (x – 1)
首先计算 (x – 1) * (x – 1) ：
(x – 1) * (x – 1) = x² – x – x + 1 = x² – 2x + 1
然后，将结果乘以 (x – 1) ：
(x² – 2x + 1) * (x – 1) = x³ – x² – 2x² + 2x + x – 1 = x³ – 3x² + 3x – 1
因此， (x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1
二、二项式定理：事半功倍
二项式定理提供了一种更高效的展开 (a + b)ⁿ 的方法。 对于我们的问题， a = x, b = -1, n = 3。 二项式定理的公式是：
(a + b)ⁿ = ∑ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k) ， 其中 k 从 0 到 n， C(n, k) 是组合数，表示从n个元素中选取k个的方案数，也写作 nCk 或 (n choose k)。
应用到我们的例子：
(x – 1)³ = C(3, 0) * x³ * (-1)⁰ + C(3, 1) * x² * (-1)¹ + C(3, 2) * x¹ * (-1)² + C(3, 3) * x⁰ * (-1)³
计算组合数：
- C(3, 0) = 1
- C(3, 1) = 3
- C(3, 2) = 3
- C(3, 3) = 1
代入公式：
(x – 1)³ = 1 * x³ * 1 + 3 * x² * (-1) + 3 * x * 1 + 1 * 1 * (-1) = x³ – 3x² + 3x – 1
再次得到相同的结果。
三、特殊立方公式：信手拈来
有一个专门的立方差公式：(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
在这个公式中，令 a = x, b = 1， 直接代入即可：
(x – 1)³ = x³ – 3x² * 1 + 3x * 1² – 1³ = x³ – 3x² + 3x – 1
这个方法最快捷！
四、几何意义：直观理解
想象一个边长为 (x – 1) 的立方体。 它的体积就是 (x – 1)³。 我们可以将这个立方体看作一个大立方体（边长为 x）的一部分，然后通过切除一些部分来得到。 这种视觉化的方式虽然不能直接计算，但有助于理解这个表达式的含义。
总结：殊途同归
无论使用直接展开、二项式定理还是立方差公式，最终的结果都是：
(x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1
掌握这些方法，可以灵活应对类似的代数展开问题。 选择哪种方法取决于个人习惯和具体情况。熟练运用特殊公式往往能节省时间，而直接展开法则更具普适性。 理解背后的原理才是最重要的！