问题：1 – 0.9循环 = ?
这个看似简单的问题，其实蕴含着一些数学上的微妙之处。要彻底搞清楚，我们需要从不同角度出发。
1. 直观理解：无限逼近
首先，我们来理解一下 0.9循环 (0.999…) 的含义。 0.9循环 指的是无限循环小数，小数点后有无数个 9 。 我们可以把它看作一个无限逼近 1 的过程：
- 0.9
- 0.99
- 0.999
- 0.9999
- …
每一次增加一个 9，这个数值就更接近 1。那么，当这个过程 无限 进行下去的时候，它会到达哪里呢？直觉上，它似乎应该非常接近 1，但又小于 1。这就是产生疑惑的关键。
2. 代数证明：简单粗暴
为了摆脱直觉的干扰，让我们用代数方法来证明：
设 x = 0.999…
那么 10x = 9.999…
现在，用 10x 减去 x :
10x – x = 9.999… – 0.999…
9x = 9
x = 1
所以，0.999… = 1。 因此， 1 – 0.999… = 1 – 1 = 0。
3. 分数表示：另一种视角
还可以通过分数来理解。 0.9循环可以表示成一个无穷等比数列的和：
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …
这是一个首项 a = 0.9，公比 r = 0.1 的无穷等比数列。 无穷等比数列求和公式是 S = a / (1 – r) (当 |r| < 1 时)。
所以，S = 0.9 / (1 – 0.1) = 0.9 / 0.9 = 1。 同样，验证了 0.9循环 等于 1。
4. 数学本质：实数的完备性
更深入地，这与实数的完备性有关。实数轴上任何两个不同的实数之间，总能找到另一个实数。 如果 0.999… < 1，那么在 0.999… 和 1 之间就应该存在另一个实数，但你找不到这样的数。 因为无论你添加多少位 9，它最终都代表的是 同一个 实数。
5. 计算机的视角：浮点数的局限
在计算机中，由于浮点数的精度限制，0.999… 通常会被表示成一个非常接近 1 的数，但并非绝对等于 1。这仅仅是因为计算机的表示能力有限，不能无限地存储小数点后的每一位。 但这并不改变数学上的结论。
结论