cos2x减sin2x等于多少

cos2x – sin2x 等于多少？

这个问题看似简单，却可以从多个角度进行解读，并得到多种不同的表达形式。

直接计算（硬刚型）：

这是最直接的方法，我们需要用到三角函数的倍角公式。

因此，cos2x – sin2x = cos²x – sin²x – 2sinxcosx

这个结果已经是一个答案，但我们可以根据需求进行进一步的变形。例如，我们可以将其与完全平方公式联系起来。

变形之路（变换莫测型）：

回顾一下 (a – b)² = a² – 2ab + b² 和 (a + b)² = a² + 2ab + b²

可以看到 cos²x – 2sinxcosx – sin²x 非常接近一个完全平方的形式，但符号略有不同。如果我们把-sin²x调整到后面，就可以写成：

cos²x – 2sinxcosx – sin²x = cos²x – 2sinxcosx + sin²x – 2sin²x = (cosx – sinx)² – 2sin²x

或者，我们可以进行另一种变形：

cos²x – sin²x – 2sinxcosx = cos²x – sin²x – 2sinxcosx = cos²x – 2sinxcosx + sin²x – 2sin²x = (cosx – sinx)² – 2sin²x。

辅助角公式（化繁为简型）：

另一种更巧妙的解法是利用辅助角公式。我们可以把 cos2x – sin2x 看作是 Acos(θ) + Bsin(θ) 的形式，然后通过配凑系数将其转化为一个角的正弦或余弦函数。

具体来说，我们可以将 cos2x – sin2x 写成 √2 * (√2/2 * cos2x – √2/2 * sin2x)。

注意到 √2/2 正好是 cos(π/4) 和 sin(π/4) 的值。因此，

cos2x – sin2x = √2 * (cos(π/4) * cos2x – sin(π/4) * sin2x)

利用余弦的角和公式 cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)，可以得到：

cos2x – sin2x = √2 * cos(2x + π/4)

同样地，也可以转化为正弦形式：

cos2x – sin2x = √2 * (sin(π/4) * cos2x – cos(π/4) * sin2x) = -√2 sin(2x – π/4) = √2sin(π/4 – 2x)

总结：

因此，cos2x – sin2x 可以有多种等价的表达形式，常见的有：

选择哪种形式取决于具体的应用场景。在解决实际问题时，选择最方便计算或化简的形式可以事半功倍。