好的，下面就来详细解析“cosx – sinx 等于多少”这个问题，我们将从不同的角度切入，力求让你彻底理解。

一、直接表达：最简单的形式

cosx – sinx 本身就是一个表达式，除非有其他条件（比如特定的x值，或者等式关系），否则它就等于 cosx – sinx 本身。这是最直接的答案。

二、三角恒等变换：化简和变形

虽然不能给出一个确定的数值，但我们可以利用三角恒等变换对其进行化简，使其更易于理解或应用。

方法一：引入辅助角

这是最常用的方法。 目标是将 cosx - sinx 转化为 Rcos(x + φ) 的形式，其中 R 是一个常数，φ 是一个角度。

• 步骤1： 提取一个系数，使得平方和为1。观察到 1^2 + (-1)^2 = 2，因此我们可以提取 √2。

cosx - sinx = √2 * (√2/2 * cosx - √2/2 * sinx)

• 步骤2： 寻找合适的角度。 我们知道 cos(π/4) = √2/2 且 sin(π/4) = √2/2。

• 步骤3： 应用和角公式。 将上述结果代入，得到：

cosx - sinx = √2 * (cos(π/4) * cosx - sin(π/4) * sinx)

现在，我们可以使用余弦的和角公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB

cosx - sinx = √2 * cos(x + π/4)

所以，cosx – sinx = √2 * cos(x + π/4)。

方法二： 引入辅助角（另一种表达方式）

我们也可以将其转化为正弦函数的形式。

• 步骤1： 仍然提取 √2: cosx - sinx = √2 * (√2/2 * cosx - √2/2 * sinx)

• 步骤2： 这次，我们要找到一个角度，使得 cos(φ) = -√2/2 和 sin(φ) = √2/2。 显然，φ = 3π/4满足条件.

• 步骤3： 应用正弦的和角公式的反向形式。 我们需要用到 sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB

cosx - sinx = -√2 * (sin(x)cos(3π/4) - cos(x)sin(3π/4)) = -√2 * sin(x - 3π/4)
或
cosx - sinx = √2 * (cos(x)sin(-π/4) + sin(x)cos(-π/4)) = √2 * sin(x - π/4)

所以，cosx – sinx = -√2 * sin(x – 3π/4) = √2 * sin(x – π/4)

三、函数图像：直观的理解

y = cosx - sinx 实际上是一个周期函数。 通过 y = √2 * cos(x + π/4) 的形式，我们可以看出：

• 振幅： 函数的振幅是 √2。
• 周期： 函数的周期是 2π（与 cosx 和 sinx 相同）。
• 相位： 函数相对于 cosx 向左平移了 π/4 个单位。

通过观察函数图像，你可以更直观地理解 cosx 和 sinx 的差值是如何变化的。

四、特殊值：具体的例子

我们可以代入一些特殊的 x 值来计算 cosx – sinx 的值：

• x = 0: cos(0) – sin(0) = 1 – 0 = 1
• x = π/4: cos(π/4) – sin(π/4) = √2/2 – √2/2 = 0
• x = π/2: cos(π/2) – sin(π/2) = 0 – 1 = -1
• x = π: cos(π) – sin(π) = -1 – 0 = -1
• x = 3π/2: cos(3π/2) – sin(3π/2) = 0 – (-1) = 1
• x = 2π: cos(2π) – sin(2π) = 1 – 0 = 1

这些例子可以帮助你理解表达式在不同情况下的取值。

五、导数与积分：更深入的视角

• 导数: d/dx (cosx - sinx) = -sinx - cosx
• 积分: ∫(cosx - sinx) dx = sinx + cosx + C (C 是积分常数)

虽然导数和积分不能直接“计算” cosx – sinx 的值，但它们提供了从微积分角度理解该表达式的途径。

总结：

cosx - sinx 本身就是一个表达式。 如果没有其他条件，它就等于自身。 然而，我们可以通过三角恒等变换将其转化为 √2 * cos(x + π/4) 或者 -√2 * sin(x - 3π/4) 或 √2 * sin(x - π/4) 的形式，这有助于我们分析函数的性质（振幅、周期、相位等）。 还可以通过代入特殊值或者从微积分的角度来理解该表达式。 希望这些解释能够让你彻底明白“cosx – sinx 等于多少”这个问题！