sinx – cosx 的值 不是一个固定的数值，它的值取决于 x 的具体取值。 我们需要将它理解为一个关于 x 的函数：f(x) = sinx – cosx。

从最基本的情况说起:

sinx 和 cosx 都是周期函数，它们以 2π 为周期重复。 因此，sinx – cosx 也是一个周期函数，同样以 2π 为周期。 我们能做的是分析 这个函数 的一些性质和变换它。

变换与化简： 引入辅助角

这应该是解决这类问题最常用的方法。 核心思想是利用三角函数的和差公式，把表达式转化为一个三角函数的形式，这样更容易分析性质。

我们想把 sinx – cosx 写成 A*sin(x + φ) 的形式，其中 A 是振幅，φ 是相位。

展开 Asin(x + φ) = A(sinxcosφ + cosxsinφ) = Acosφsinx + Asinφcosx

要使 sinx – cosx = Acosφsinx + Asinφcosx 成立，我们需要：

• A*cosφ = 1
• A*sinφ = -1

两式平方相加，得到 A²*(cos²φ + sin²φ) = 1² + (-1)² => A² = 2 => A = √2 (通常取正值)

然后，cosφ = 1/√2， sinφ = -1/√2。 因此，φ = -π/4 （或 7π/4，因为周期性）。

所以： sinx – cosx = √2 * sin(x – π/4)

图形的角度： 直观的理解

有了上面的变换，我们可以从图形上理解这个函数。

• 振幅： √2 说明函数值的最大值为 √2，最小值为 -√2。
• 周期： 2π (与 sinx 和 cosx 一样)。
• 相位： -π/4 表明 sinx 的图像向右平移了 π/4 个单位。

如果你绘制 y = sinx, y = cosx 和 y = sinx – cosx 的图像，你会看到 y = sinx – cosx 的图像是 y = sinx 的图像经过平移和伸缩变换得到的。观察三条曲线的相对位置也能更直观地理解 sinx – cosx 的变化。

特殊值： 举例说明

为了更具体地理解，我们可以代入一些特殊值：

• x = 0: sin0 – cos0 = 0 – 1 = -1
• x = π/4: sin(π/4) – cos(π/4) = √2/2 – √2/2 = 0
• x = π/2: sin(π/2) – cos(π/2) = 1 – 0 = 1
• x = π: sinπ – cosπ = 0 – (-1) = 1
• x = 3π/2: sin(3π/2) – cos(3π/2) = -1 – 0 = -1
• x = 2π: sin(2π) – cos(2π) = 0 – 1 = -1

导数： 分析单调性

我们可以通过求导来分析函数 f(x) = sinx – cosx 的单调性。

f'(x) = cosx + sinx = √2 * sin(x + π/4)

• 当 f'(x) > 0 时，f(x) 单调递增。 这意味着 √2 * sin(x + π/4) > 0， 即 sin(x + π/4) > 0。 所以 x + π/4 落在 (2kπ, 2kπ + π) 区间内，其中 k 为整数。
• 当 f'(x) < 0 时，f(x) 单调递减。 这意味着 √2 * sin(x + π/4) < 0， 即 sin(x + π/4) < 0。 所以 x + π/4 落在 (2kπ + π, 2kπ + 2π) 区间内，其中 k 为整数。

总结：

sinx – cosx 表示一个以 2π 为周期的函数，其值取决于 x。 我们可以通过辅助角公式将其转化为 √2 * sin(x – π/4) 的形式来分析其性质，也可以通过绘制图像或求导数来理解。 重要的是认识到它是一个函数，而不是一个常数。

更进一步的思考 (可选):

• sinx – cosx 可以看作是两个向量 (sinx, cosx) 和 (0, -1) 的点积的模长吗？
• 如果要求解 sinx – cosx = k (k 为常数) 的方程，该如何求解？ (提示： 还是利用辅助角公式)