lg2 – lg5 等于多少？ 这个问题看似简单，实则蕴含着对数运算的精髓。 答案是 lg(2/5) 或 lg0.4，其近似值为 -0.3979。 下面我们从不同角度来解读这个问题。
1. 对数基本性质的直接应用 (严谨风格)
对数运算有一个核心性质： loga(x) – loga(y) = loga(x/y)。 在这个问题中，我们的底数是默认的常用对数10 (lg 表示以10为底的对数)。因此，我们可以直接应用这个性质：
lg2 – lg5 = lg(2/5) = lg(0.4)
使用计算器我们可以得到 lg(0.4) ≈ -0.3979。
2. 换底公式的视角 (更深入的理解)
即使底数不是10，上述性质也适用。 更进一步，我们可以用换底公式来理解：
假设我们要计算 logb(2) – logb(5)， 我们可以把它转换成以10为底的对数：
logb(2) = lg2 / lgb
logb(5) = lg5 / lgb
因此：
logb(2) – logb(5) = (lg2 / lgb) – (lg5 / lgb) = (lg2 – lg5) / lgb = lg(2/5) / lgb = logb(2/5)
这再次验证了对数相减等于对数相除的性质。
3. 从数字大小角度的理解 (直观感受)
- 2 比 5 小。所以，直觉上 lg2 应该比 lg5 小。
- 因此， lg2 – lg5 的结果必然是负数。
- 2/5 = 0.4， 小于1，任何小于1的数的对数（底数大于1）都为负数。
- lg1 = 0。 因为0.4 比1 小很多，所以其对数值也比较小， 并且为负数。
4. 从指数关系的角度 (本质理解)
对数和指数互为逆运算。 lg2 – lg5 可以理解为：
假设： 10x = 2 => x = lg2
10y = 5 => y = lg5
那么 lg2 – lg5 = x – y
我们需要找到一个 z，使得 10x-y = z
因为 10x-y = 10x / 10y = 2 / 5 = 0.4
所以 z = 0.4, 那么 x – y = lg(0.4) = lg(2/5)
5. 一个更口语化的解释 (简单易懂)
你可以把 lg2 看成是“10要自乘多少次才能得到2”，把 lg5 看成是“10要自乘多少次才能得到5”。 现在你要把后者“减掉”，也就是“除掉”。 所以问题就变成了“10要自乘多少次才能得到 2/5 (也就是0.4)”。 这就是 lg(2/5) 的意思。
总结:
无论从对数性质、换底公式、数字大小、指数关系，还是口语化的解释，我们都得到了相同的结论： lg2 – lg5 = lg(2/5) = lg0.4 ≈ -0.3979。理解这些不同的角度，可以更深刻地掌握对数运算。