cos a

这就是直接的答案。但要理解这个答案，我们需要从不同角度剖析，如同剥洋葱一样，层层深入：

1. 几何直观（三角函数定义）

想象一个单位圆（半径为1的圆）。 在第一象限取一个角度a，并构建一个直角三角形，其中a是其中一个锐角。 那么：

• sin(a) = 对边 / 斜边
• cos(a) = 邻边 / 斜边

由于是单位圆，斜边长度为1，所以sin(a)实际上就是对边的长度，cos(a)就是邻边的长度。

现在，考虑角度90° – a。 同样构建一个直角三角形。这个新的三角形与之前的三角形是互余的。 也就是说，90° – a 的 对边 正好是 a 的 邻边。 而斜边仍然是1。

因此，sin(90° – a) = (90°-a的对边) / 斜边 = (a的邻边) / 斜边 = cos(a)。

2. 公式推导 (和角公式/诱导公式)

我们也可以利用三角函数的和角公式来推导：

sin(x – y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)

令 x = 90°，y = a，代入上式：

sin(90° – a) = sin(90°)cos(a) – cos(90°)sin(a)

我们知道：

• sin(90°) = 1
• cos(90°) = 0

所以：

sin(90° – a) = 1 * cos(a) – 0 * sin(a) = cos(a)

3. 记忆口诀（诱导公式）

诱导公式有一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 这句话的意思是：

• 奇变偶不变： 指的是函数名是否改变。 如果角度是π/2 (90°)的奇数倍，函数名要改变（正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，反之亦然）。如果是π/2 (90°)的偶数倍，函数名不变。
• 符号看象限： 将”a”看作锐角，判断原函数在90°-a所在的象限的符号（注意是原函数，即sin的符号）。

对于sin(90° – a)：

• 90°是π/2的奇数倍，所以sin变cos。
• 90° – a 在第一象限（因为a被视为锐角），而sin在第一象限为正。

因此，sin(90° – a) = + cos(a) = cos(a)。

4. 特殊角度验证

为了加深理解，我们可以代入一些特殊角度进行验证：

• a = 0°: sin(90° – 0°) = sin(90°) = 1。 cos(0°) = 1。 结论成立。

• a = 30°: sin(90° – 30°) = sin(60°) = √3 / 2。 cos(30°) = √3 / 2。 结论成立。

• a = 45°: sin(90° – 45°) = sin(45°) = √2 / 2。 cos(45°) = √2 / 2。 结论成立。

总结

无论从几何、公式、记忆口诀还是特殊角度验证的角度，都可以得出结论：sin(90° – a) = cos(a)。 掌握这个公式可以简化许多三角函数计算问题。