sec²x – 1 等于 tan²x。

下面我们从几个角度来彻底理解这个恒等式：

1. 从三角函数的基本定义出发：

• 首先，secx 的定义是 cosx 的倒数，即 secx = 1/cosx。
• tanx 的定义是 sinx/cosx。
• 因此，sec²x = (1/cosx)² = 1/cos²x 且 tan²x = (sinx/cosx)² = sin²x/cos²x。

我们要证明的是： 1/cos²x – 1 = sin²x/cos²x

将等式左边的 1 转化为 cos²x/cos²x，则：

1/cos²x – cos²x/cos²x = (1 – cos²x) / cos²x

根据三角函数基本关系式 sin²x + cos²x = 1，我们可以得到 1 – cos²x = sin²x。

所以，(1 – cos²x) / cos²x = sin²x / cos²x = tan²x

得证： sec²x – 1 = tan²x

2. 通过单位圆理解：

考虑单位圆，半径为1。 假设有一个角度 x，其终边与单位圆交于点(a, b)。

• 则 a = cosx， b = sinx
• tanx = b/a = sinx/cosx
• secx = 1/a = 1/cosx

现在考虑以 (1, 0) 为起点，沿x轴正方向延伸的线段长度。再考虑过点 (a, b) 作 x轴的垂线，垂足为 (a, 0)。 这两条线段以及单位圆的半径 1 组成一个直角三角形。

设从 (1, 0) 延伸到 与从 (a, b) 向 x轴引的垂线 与 x轴的交点 的长度为 t。 那么 t 就是 tanx 。 从原点到 (a, b) 的距离是1 (因为是单位圆)。那么从原点到 (1, 0) 的距离也是 1。 从原点出发, 到与从 (a, b) 向 x轴引的垂线 与 x轴的交点 再延伸到 secx 的长度就是 secx。 因此，由勾股定理可知：

1² + tan²x = sec²x

移项可得： sec²x – 1 = tan²x

3. 一种更直接的记忆方法：

记住最基本的三角恒等式：sin²x + cos²x = 1。然后，想象一下如何从这个公式推导出 sec²x – 1 = tan²x。

• 将 sin²x + cos²x = 1 的两边都除以 cos²x。
• 得到 (sin²x / cos²x) + (cos²x / cos²x) = 1 / cos²x
• 化简： tan²x + 1 = sec²x
• 移项： sec²x – 1 = tan²x

这种方法的好处是，你只需要记住一个公式，然后通过简单的代数运算就可以得到其他公式，避免死记硬背。

4. 强调适用范围：

需要注意的是，这个公式成立的前提是 x 的取值要使得 tanx 和 secx 都有定义。 也就是说， x 不能取 π/2 + kπ (k 为任意整数)。因为在这些点上，cosx = 0，导致 secx 和 tanx 无意义。

总结：

sec²x – 1 = tan²x 这个恒等式来源于三角函数的基本定义和勾股定理，通过不同角度的解释，希望能够帮助你更深入地理解和记忆它。 记住基本定义，避免死记硬背，并且注意公式的适用范围，才能灵活运用三角恒等式解决问题。