2x² – x – 3 = 0 怎么解？

这个问题其实是在问：如何找到一个 x 值，使得代入这个方程后，等式成立。解二次方程的方法有很多，我们来逐一击破：

一、万能公式：求根公式法

这是最常见、也是最保险的方法，只要是二次方程，它都能搞定。这个公式来源于对一般形式 ax² + bx + c = 0 完成配方后得到的。

求根公式如下：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

在这个例子中：

• a = 2
• b = -1
• c = -3

将这些值代入公式：

x = (1 ± √((-1)² – 4 * 2 * -3)) / (2 * 2)

x = (1 ± √(1 + 24)) / 4

x = (1 ± √25) / 4

x = (1 ± 5) / 4

所以，我们得到两个解：

• x₁ = (1 + 5) / 4 = 6 / 4 = 3 / 2 = 1.5
• x₂ = (1 – 5) / 4 = -4 / 4 = -1

结论：x = 1.5 或 x = -1

二、优雅拆解：因式分解法

如果这个二次方程可以分解成两个一次因式的乘积，那么解题就简单多了。我们要找到两个数，它们的乘积等于 a 和 c 的乘积（这里是 2 * -3 = -6），并且它们的和等于 b （这里是 -1）。

这两个数是 -3 和 2。因为 (-3) * 2 = -6 并且 (-3) + 2 = -1。

现在，我们把中间项 “-x” 分解成 “-3x + 2x”：

2x² – 3x + 2x – 3 = 0

接下来，分组提取公因式：

x(2x – 3) + 1(2x – 3) = 0

把公共的因式 (2x – 3) 提取出来：

(x + 1)(2x – 3) = 0

要使这个等式成立，要么 (x + 1) = 0，要么 (2x – 3) = 0。

• 如果 x + 1 = 0，那么 x = -1
• 如果 2x – 3 = 0，那么 2x = 3，x = 3 / 2 = 1.5

同样，我们得到：x = 1.5 或 x = -1

三、完全平方：配方法

配方法的核心思想是通过变形，将二次方程转化为完全平方的形式，再求解。 这个方法稍微复杂一些，但可以加深你对二次方程本质的理解。

1. 系数化一： 首先，把 x² 的系数化为 1。 也就是方程两边同时除以 2：

   x² – (1/2)x – (3/2) = 0

2. 移项： 将常数项移到等式右边：

   x² – (1/2)x = 3/2

3. 配方： 在等式两边同时加上 x 项系数一半的平方。 也就是加上 (-1/2 / 2)² = (-1/4)² = 1/16:

   x² – (1/2)x + 1/16 = 3/2 + 1/16

4. 化简： 等式左边现在是一个完全平方项，右边化简：

   (x – 1/4)² = 24/16 + 1/16

   (x – 1/4)² = 25/16

5. 开方： 等式两边开平方：

   x – 1/4 = ± √(25/16)

   x – 1/4 = ± 5/4

6. 求解： 解出 x：

   x = 1/4 ± 5/4

   • x₁ = 1/4 + 5/4 = 6/4 = 3/2 = 1.5
   • x₂ = 1/4 – 5/4 = -4/4 = -1

殊途同归：x = 1.5 或 x = -1

总结：

三种方法殊途同归，都得到了相同的答案。选择哪种方法取决于个人喜好和问题的具体形式。 如果能快速看出因式分解，那当然最快捷。 如果实在看不出来，求根公式就是你的救命稻草。 配方法则更偏向于理解二次方程的内在结构。 掌握这些方法，你就可以轻松解决类似的二次方程问题了！