x² – x – 3 = 0 怎么解？

这个问题，咱们可以用好几种方法来把它“摆平”！ 下面就让我们一起看看各种解法的精彩亮相：

一、公式法（也叫求根公式法，这可是个万能钥匙！）

这是最直接、最常用的方法，几乎所有一元二次方程都能用它解决。 记住这个公式，你就能“秒杀”一大片：

对于形如 ax² + bx + c = 0 的一元二次方程，其解为：

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a

是不是感觉有点眼晕？ 没关系，咱们套到题目里试试：

在 x² – x – 3 = 0 中， a = 1， b = -1， c = -3。 所以，代入公式：

x = [ -(-1) ± √((-1)² – 4 * 1 * (-3))] / (2 * 1)

x = [1 ± √(1 + 12)] / 2

x = [1 ± √13] / 2

所以，方程的两个解为：

• x₁ = (1 + √13) / 2
• x₂ = (1 – √13) / 2

瞧，搞定！

二、配方法（拆解重塑，化腐朽为神奇！）

配方法的核心思想就是把方程转化成 (x + m)² = n 的形式。 接下来，咱们一步一步来：

1. 把常数项移到等号右边： x² – x = 3

2. 等式两边同时加上一次项系数一半的平方： 这里的“一次项系数”是 -1，它的一半是 -1/2， (-1/2)² = 1/4。 所以，

   x² – x + 1/4 = 3 + 1/4

3. 把左边配成完全平方： (x – 1/2)² = 13/4

4. 两边同时开平方： x – 1/2 = ±√(13/4) = ±√13 / 2

5. 解出 x： x = 1/2 ± √13 / 2 = (1 ± √13) / 2

   结果跟公式法一样！ 配方法需要一定的技巧，但能帮助我们更好地理解方程的结构。

三、图像法（直观感受，一目了然！）

图像法就是把方程转化成函数，通过函数图像来寻找解。

1. 把 x² – x – 3 = 0 看作函数 y = x² – x – 3

2. 画出这个函数的图像（抛物线）。

3. 方程的解就是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。

通过画图软件或者计算器，我们可以看到，抛物线与 x 轴有两个交点，它们的横坐标大约分别是 2.3 和 -1.3。 这与我们用公式法和配方法得到的精确解 (1 + √13) / 2 ≈ 2.3 和 (1 – √13) / 2 ≈ -1.3 吻合。

图像法虽然不能直接给出精确解，但能让我们直观地了解方程的解的性质，例如解的个数、正负性等。

总结：

• 公式法: 简单粗暴，适用性广，记住公式即可。
• 配方法: 需要一定技巧，但能更好地理解方程的结构。
• 图像法: 直观感受，了解解的性质。

不同的方法各有千秋，选择哪种取决于你的偏好和具体情况。 掌握多种方法，才能在解题时游刃有余！