问题：x² – x – 7/4 = 0

接下来，我们将用多种方法解决这个一元二次方程，务求理解透彻。

方法一：配方法

配方法的核心思想是将方程左边配成一个完全平方项，然后利用平方根的性质求解。

1. 移项： 将常数项移到等式右边：
   x² – x = 7/4

2. 配方： 为了将左边配成 (x + a)² 或 (x – a)² 的形式，我们需要在方程两边同时加上 (系数/2)²。 x 的系数是 -1，所以我们加上 (-1/2)² = 1/4：
   x² – x + 1/4 = 7/4 + 1/4

3. 化简： 将方程左边写成完全平方的形式，并将右边化简：
   (x – 1/2)² = 8/4 = 2

4. 开平方： 两边同时开平方根：
   x – 1/2 = ±√2

5. 解方程： 解出 x 的两个值：
   x = 1/2 ± √2

   因此，x₁ = 1/2 + √2 和 x₂ = 1/2 – √2

方法二：公式法 (求根公式)

这是最直接的方法，适用于任何一元二次方程 ax² + bx + c = 0。 求根公式如下：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

1. 确定系数： 在我们的方程 x² – x – 7/4 = 0 中，a = 1, b = -1, c = -7/4

2. 代入公式： 将系数代入求根公式：
   x = (1 ± √((-1)² – 4 * 1 * (-7/4))) / (2 * 1)
   x = (1 ± √(1 + 7)) / 2
   x = (1 ± √8) / 2
   x = (1 ± 2√2) / 2
   x = 1/2 ± √2

   因此，x₁ = 1/2 + √2 和 x₂ = 1/2 – √2

方法三：因式分解法 (尝试)

尽管因式分解法并非总是适用，但我们仍然可以尝试。然而，在这个例子中，直接因式分解并不容易，因为我们有两个无理数根。 但为了完整性，我们也可以从根入手反向尝试构造因式。

1. 已知根： 我们已经知道 x₁ = 1/2 + √2 和 x₂ = 1/2 – √2 是方程的解。

2. 构造因式： 相应的因式为 (x – (1/2 + √2)) 和 (x – (1/2 – √2))

3. 展开： 将这两个因式相乘：
   (x – (1/2 + √2)) * (x – (1/2 – √2)) = (x – 1/2 – √2) * (x – 1/2 + √2)

   我们可以将其视为差的平方公式的应用：(a – b)(a + b) = a² – b²， 其中 a = x – 1/2, b = √2

   所以，展开后得到：
   (x – 1/2)² – (√2)² = x² – x + 1/4 – 2 = x² – x – 7/4

   这与原始方程相符，确认了我们的根是正确的。 但要 直接 从原始方程找到这样的因式分解是很困难的。

总结

• 配方法 通过将方程转化为完全平方形式来求解，有助于理解平方根的本质。
• 公式法 是通用的方法，适用于所有一元二次方程，但需要记住公式。
• 因式分解法 在某些情况下非常有效，但并非总是适用，且对于非整数解的方程可能很困难。

对于本题，配方法和公式法是最有效和直接的求解途径。 因式分解法虽然也能验证答案，但从题干直接出发不易分解。 三种方法殊途同归，都得到了相同的解： x = 1/2 + √2 和 x = 1/2 – √2 。