让我们深入剖析二次方程 x² – x – 7/4 = 0。我们将从多个角度出发，力求把它讲透。

1. 直接解法：公式法（万能钥匙）

这是最直接的方法。对于一般的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解为：

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a

在本题中，a = 1, b = -1, c = -7/4。 代入公式：

x = [1 ± √((-1)² – 4 * 1 * (-7/4))] / (2 * 1)
x = [1 ± √(1 + 7)] / 2
x = [1 ± √8] / 2
x = [1 ± 2√2] / 2

所以，方程的两个解为：

x₁ = (1 + 2√2) / 2 ≈ 1.914
x₂ = (1 – 2√2) / 2 ≈ -0.914

2. 配方法：变形的艺术

配方法的核心是将方程变形为 (x + m)² = n 的形式。

• 第一步： 将常数项移到等号右边：
  x² – x = 7/4

• 第二步： 等号两边同时加上 (b/2a)²，在本例中，(b/2a)² = (-1/2)² = 1/4：
  x² – x + 1/4 = 7/4 + 1/4

• 第三步： 左边化为完全平方形式：
  (x – 1/2)² = 8/4 = 2

• 第四步： 两边开平方：
  x – 1/2 = ±√2

• 第五步： 移项得到解：
  x = 1/2 ± √2
  x = (1 ± 2√2) / 2

结果与公式法一致。 配方法虽然步骤稍多，但有助于理解平方项的本质。

3. 图形解法：可视化方程

可以将方程 x² – x – 7/4 = 0 视为函数 y = x² – x – 7/4。 方程的解就是函数图像与 x 轴的交点（即 y = 0 的点）。

这个函数是一个抛物线，开口向上，对称轴为 x = -b/2a = 1/2。 我们可以粗略地画出图像，观察它与 x 轴的交点，验证之前计算的结果。通过图像可以看到，抛物线确实与x轴有两个交点，一个在-1附近，另一个在2附近，与我们计算的结果相符。

4. 判别式：解的性质探测器

判别式 Δ = b² – 4ac 可以判断二次方程解的性质：

• Δ > 0：方程有两个不相等的实数根。
• Δ = 0：方程有两个相等的实数根（重根）。
• Δ < 0：方程没有实数根，有两个共轭复数根。

对于我们的方程，Δ = (-1)² – 4 * 1 * (-7/4) = 1 + 7 = 8 > 0。 这意味着方程有两个不相等的实数根，正如我们所计算的。

5. 韦达定理：根与系数的关系

韦达定理揭示了二次方程的根与系数之间的关系。 对于方程 ax² + bx + c = 0，设两根为 x₁ 和 x₂，则：

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a

在本题中：

• x₁ + x₂ = -(-1)/1 = 1
• x₁ * x₂ = -7/4

你可以将我们之前计算出的两个根 x₁ = (1 + 2√2) / 2 和 x₂ = (1 – 2√2) / 2 代入验证，它们确实满足这两个关系式。

总结：

我们通过公式法、配方法、图像法、判别式和韦达定理等多种方法，全面地分析了方程 x² – x – 7/4 = 0。 每种方法都从不同的角度揭示了方程的本质，加深了我们对二次方程的理解。 掌握这些方法，面对类似的二次方程，你就能游刃有余地解决问题。