这个问题“a² + a – 1 = 0”看似简单，实则蕴含着一些有趣的数学知识，可以从多个角度进行剖析：

1. 直接求解：使用求根公式

最直接的方法就是利用一元二次方程的求根公式。 对于形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其根为：

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a

在这个例子中，a = 1, b = 1, c = -1。 将这些值代入公式，我们得到：

a = [-1 ± √(1² – 4 * 1 * -1)] / (2 * 1)
a = [-1 ± √5] / 2

因此，方程有两个解：

a₁ = (-1 + √5) / 2 (这就是著名的黄金分割比例 φ，约等于 0.618)
a₂ = (-1 – √5) / 2 (约等于 -1.618)

2. 几何解释：构造矩形

我们可以从几何的角度理解这个方程。考虑一个边长为a的正方形。 它的面积是a²。 现在，我们把这个正方形的一条边增加1，变成一个矩形，这个矩形的面积是a(a+1)，也就是a² + a。 根据原方程 a² + a – 1 = 0，我们可以变形得到 a² + a = 1。

这意味着，我们构造的这个矩形的面积恰好等于 1。 这个构造过程并没有直接揭示根的值，但是提供了一种几何上的直观感受。更深入的几何解释会涉及到黄金矩形的构造。

3. 数列递推关系：斐波那契数列

黄金分割比例与斐波那契数列息息相关。 斐波那契数列的定义是：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)。 斐波那契数列相邻两项的比值，当n趋向无穷大时，极限就是黄金分割比例 φ。

方程 a² + a – 1 = 0 可以改写为 a² = 1 – a 或者 a(a+1) = 1。虽然这并不能直接推导出斐波那契数列，但是可以隐约看到黄金比例与递推关系之间的联系。

4. 函数图像：寻找零点

我们可以将方程 a² + a – 1 = 0 视为函数 f(a) = a² + a – 1， 然后寻找这个函数的零点（也就是函数图像与 x 轴的交点）。 这是一个开口向上的抛物线。 由于函数的判别式 Δ = b² – 4ac = 5 > 0，所以函数与x轴有两个交点。 这两个交点的横坐标就是方程的两个解，即 (-1 + √5) / 2 和 (-1 – √5) / 2。 通过绘制函数图像，可以直观地看到这两个解的位置。

5. 换元法（高级技巧）

虽然对于这个简单的问题使用换元法可能显得有些笨拙，但它可以展示一种解决更复杂问题的思路。 假设 a = x – 1/2， 代入原方程得到：

(x – 1/2)² + (x – 1/2) – 1 = 0
x² – x + 1/4 + x – 1/2 – 1 = 0
x² – 5/4 = 0
x² = 5/4
x = ±√5 / 2

因此，a = ±√5 / 2 – 1/2 = (-1 ± √5) / 2

总结

方程 a² + a – 1 = 0 是一个非常经典的一元二次方程，它有两个实数解，其中一个解是黄金分割比例。 我们可以通过求根公式、几何解释、与斐波那契数列的联系、函数图像以及换元法等多种方式来理解和解决这个问题。 每种方法都提供了不同的视角，帮助我们更全面地认识数学的奥妙。