解集探秘：3x² – x – 2 = 0

让我们一起拨开迷雾，探索二次方程 3x² - x - 2 = 0 的解集。我们将采用多种角度和方法，务求理解透彻。

1. 经典公式法：一招鲜，吃遍天？

作为二次方程的“标配”，求根公式必然是首选。对于形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其根为：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

对应到本题，a = 3, b = -1, c = -2。代入公式，我们得到：

x = (1 ± √((-1)² – 4 * 3 * -2)) / (2 * 3)
x = (1 ± √(1 + 24)) / 6
x = (1 ± √25) / 6
x = (1 ± 5) / 6

因此，解集包含两个解：

• x₁ = (1 + 5) / 6 = 6 / 6 = 1
• x₂ = (1 – 5) / 6 = -4 / 6 = -2/3

所以，解集为 {1, -2/3}。

2. 灵巧的分解因式法：化繁为简的艺术

分解因式法需要一定的观察力和技巧，但如果运用得当，可以事半功倍。 目标是将 3x² - x - 2 分解成两个一次因式的乘积。

我们寻找两个数，它们的乘积等于 3 * -2 = -6，和等于 -1 (x的系数)。 显然，这两个数是 -3 和 2。

现在，我们将 -x 拆分成 -3x + 2x：

3x² – x – 2 = 3x² – 3x + 2x – 2

然后，分组提取公因式：

3x² – 3x + 2x – 2 = 3x(x – 1) + 2(x – 1)

最后，再次提取公因式：

3x(x – 1) + 2(x – 1) = (3x + 2)(x – 1)

因此，原方程可以写成：

(3x + 2)(x – 1) = 0

要使乘积为零，必须至少有一个因子为零。因此：

• 3x + 2 = 0 => x = -2/3
• x – 1 = 0 => x = 1

同样，解集为 {1, -2/3}。

3. 配方法：化身完全平方

配方法的核心是将二次三项式转化为完全平方式加上一个常数的形式。

首先，提取二次项系数：

3x² – x – 2 = 3(x² – (1/3)x) – 2

然后，对括号内的式子进行配方。为了配成完全平方，我们需要加上 (1/2 * -1/3)² = 1/36：

3(x² – (1/3)x + 1/36 – 1/36) – 2

整理：

3((x – 1/6)² – 1/36) – 2

展开：

3(x – 1/6)² – 3/36 – 2

3(x – 1/6)² – 1/12 – 2

3(x – 1/6)² – 25/12 = 0

现在，移项：

3(x – 1/6)² = 25/12

(x – 1/6)² = 25/36

开平方：

x – 1/6 = ± √(25/36)

x – 1/6 = ± 5/6

因此：

• x = 1/6 + 5/6 = 1
• x = 1/6 – 5/6 = -4/6 = -2/3

结果一致：解集为 {1, -2/3}。

4. 图形视角：与x轴的交点

我们还可以将方程 3x² - x - 2 = 0 看作是函数 y = 3x² - x - 2 与 y = 0 (即x轴)的交点。 二次函数的图像是一个抛物线。

通过观察图像（可以使用绘图软件或者在线工具），我们可以发现抛物线与x轴有两个交点，它们的x坐标分别约为 1 和 -0.666…，验证了我们之前计算的结果。

总结：殊途同归

无论是公式法、分解因式法、配方法，还是从图形角度观察，我们都得到了相同的解集 {1, -2/3}。 这体现了数学的严谨性和不同方法之间的内在联系。 理解这些不同的方法，能让我们更深刻地掌握二次方程的解法，并能在实际问题中灵活运用。