3x² – x – 2 = 0 的解集

这个问题要求我们找出所有能使二次方程 3x² – x – 2 = 0 成立的 x 值。解决二次方程有很多方法，下面我们一一分析，并给出最终的解集。

方法一：因式分解 (The Factoring Approach)

这是最直接，通常也是最快的解法，如果方程容易分解的话。 我们的目标是把 3x² – x – 2 分解成两个一次因式的乘积。

1. 寻找合适的数字： 我们要找到两个数字，它们的乘积等于首项系数和常数项的乘积 (3 * -2 = -6)，它们的和等于一次项系数 (-1)。这两个数字是 -3 和 +2，因为 (-3) * (2) = -6 且 (-3) + (2) = -1。

2. 重写一次项： 把 -x 重写成 -3x + 2x。 原方程变为： 3x² – 3x + 2x – 2 = 0

3. 分组分解： 把方程分成两组： (3x² – 3x) + (2x – 2) = 0

4. 提取公因式： 从每组提取公因式： 3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

5. 再次提取公因式： 现在整个表达式都有公因式 (x – 1)，提取它： (x – 1)(3x + 2) = 0

6. 求根： 要使整个表达式为 0，要么 (x – 1) = 0，要么 (3x + 2) = 0。

   • 如果 x – 1 = 0，那么 x = 1
   • 如果 3x + 2 = 0，那么 3x = -2，所以 x = -2/3

方法二：公式法 (The Quadratic Formula)

当因式分解比较困难或者根本无法因式分解时，公式法是万能的。 二次方程 ax² + bx + c = 0 的通用解法是：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

1. 确定 a, b, c： 在我们的方程 3x² – x – 2 = 0 中， a = 3, b = -1, c = -2

2. 代入公式： x = ( -(-1) ± √((-1)² – 4 * 3 * -2)) / (2 * 3)

3. 简化： x = (1 ± √(1 + 24)) / 6 = (1 ± √25) / 6 = (1 ± 5) / 6

4. 求根：

   • x₁ = (1 + 5) / 6 = 6 / 6 = 1
   • x₂ = (1 – 5) / 6 = -4 / 6 = -2/3

方法三：配方法 (Completing the Square)

配方法是将二次方程转换为完全平方形式 (x + p)² = q 的方法。 虽然计算过程稍显复杂，但它能帮助我们更深入地理解二次方程的结构。

1. 将常数项移到等号右边： 3x² – x = 2

2. 将二次项系数化为 1： 将方程两边同时除以 3： x² – (1/3)x = 2/3

3. 配方： 在等式两边加上 (一次项系数 / 2)²，也就是 (-1/3 / 2)² = (-1/6)² = 1/36

   • x² – (1/3)x + 1/36 = 2/3 + 1/36

4. 简化：

   • (x – 1/6)² = 24/36 + 1/36 = 25/36

5. 开方： 两边同时开平方：

   • x – 1/6 = ±√(25/36) = ±5/6

6. 求解 x：

   • x₁ = 1/6 + 5/6 = 6/6 = 1
   • x₂ = 1/6 – 5/6 = -4/6 = -2/3

结论 (Conclusion)

无论使用哪种方法，我们都得到了相同的解。

解集： {1, -2/3}

因此，3x² – x – 2 = 0 的解集是 1 和 -2/3。 这意味着当 x 等于 1 或者 -2/3 时，方程 3x² – x – 2 = 0 成立。