x² – 5x – 6 = 0 怎么解？

这个问题属于一元二次方程的求解，我们可以用多种方法来解决。下面详细讲解各种方法，并辅以易懂的解释。

方法一：因式分解法 (Factoring)

• 原理： 如果能把二次方程分解成两个一次因式的乘积，那么方程的解就是使每个因式为零的 x 的值。

• 步骤：

  1. 找到两个数，它们的乘积等于常数项 (-6)，且它们的和等于一次项系数 (-5)。 这两个数分别是 -6 和 1，因为 (-6) * 1 = -6 且 (-6) + 1 = -5。

  2. 将方程改写成因式分解的形式：
     (x – 6)(x + 1) = 0

  3. 令每个因式等于零，求解 x：

     • x – 6 = 0 => x = 6
     • x + 1 = 0 => x = -1

• 结论： 方程 x² – 5x – 6 = 0 的解是 x = 6 和 x = -1。

• 优点： 如果二次方程容易因式分解，这种方法非常快捷。

• 缺点： 并非所有二次方程都能轻松地进行因式分解。

方法二：配方法 (Completing the Square)

• 原理： 通过添加一个常数项，将二次三项式变成一个完全平方的形式，从而简化方程的求解。

• 步骤：

  1. 将常数项移到等号右边：
     x² – 5x = 6

  2. 在等号两边同时加上一次项系数一半的平方： 一次项系数是 -5，它的一半是 -5/2，平方是 25/4。
     x² – 5x + 25/4 = 6 + 25/4

  3. 将左边写成完全平方的形式：
     (x – 5/2)² = 49/4

  4. 两边同时开平方：
     x – 5/2 = ±√(49/4)
     x – 5/2 = ±7/2

  5. 求解 x：

     • x = 5/2 + 7/2 = 12/2 = 6
     • x = 5/2 – 7/2 = -2/2 = -1

• 结论： 方程 x² – 5x – 6 = 0 的解是 x = 6 和 x = -1。

• 优点： 配方法是一种通用的方法，可以用来解任何一元二次方程。

• 缺点： 计算过程相对复杂，容易出错。

方法三：公式法 (Quadratic Formula)

• 原理： 对于任何形式为 ax² + bx + c = 0 的二次方程，都可以直接使用公式求解。

• 公式：

  x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

• 步骤：

  1. 确定方程的系数 a, b, 和 c： 在本题中，a = 1, b = -5, c = -6。

  2. 将系数代入公式：

     x = (5 ± √((-5)² – 4 * 1 * -6)) / (2 * 1)
     x = (5 ± √(25 + 24)) / 2
     x = (5 ± √49) / 2
     x = (5 ± 7) / 2

  3. 求解 x：

     • x = (5 + 7) / 2 = 12 / 2 = 6
     • x = (5 – 7) / 2 = -2 / 2 = -1

• 结论： 方程 x² – 5x – 6 = 0 的解是 x = 6 和 x = -1。

• 优点： 公式法是最通用的方法，可以直接求解任何一元二次方程，无需思考因式分解或配方。

• 缺点： 需要记住公式，且计算过程相对繁琐，尤其是在系数较大或含有根号时。

总结：

对于 x² – 5x – 6 = 0 这样的方程，因式分解法最为简便快捷。 但为了掌握更广泛的解题能力，建议也掌握配方法和公式法。选择哪种方法取决于个人偏好和方程的特点。 希望以上解释能帮助你理解和掌握一元二次方程的求解方法。