方法一：公式法——简洁高效的利刃

公式法是解一元二次方程最常用，也是最直接的方法。对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$ (其中 $a \ne 0$)，它的根可以用如下公式求出：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

我们的目标方程是 $x^2 – 3x – 2 = 0$。 将其与一般形式对比，我们可以确定：

• $a = 1$
• $b = -3$
• $c = -2$

将这些值代入公式：

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

因此，方程的两个解是：

• $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
• $x_2 = \frac{3 – \sqrt{17}}{2}$

方法二：配方法——步步为营的推导

配方法的核心思想是将二次方程转化为完全平方的形式，即 $(x + p)^2 = q$。 这样做的好处是可以直接开平方根求解。

1. 移项： 将常数项移到等式右边：

   $x^2 – 3x = 2$

2. 配方： 为了将左边配成完全平方项，我们需要在等式两边同时加上 $(\frac{b}{2a})^2$，在这里也就是 $(\frac{-3}{2})^2 = \frac{9}{4}$。

   $x^2 – 3x + \frac{9}{4} = 2 + \frac{9}{4}$

3. 化简： 将左边写成完全平方形式，并化简右边：

   $(x – \frac{3}{2})^2 = \frac{8}{4} + \frac{9}{4}$

   $(x – \frac{3}{2})^2 = \frac{17}{4}$

4. 开平方： 两边同时开平方根：

   $x – \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{17}{4}}$

   $x – \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$

5. 求解x： 移项得到x的值：

   $x = \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$

   $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

同样，我们得到两个解：

• $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
• $x_2 = \frac{3 – \sqrt{17}}{2}$

方法三：图像法——直观感受的验证

图像法是通过绘制二次函数 $y = x^2 – 3x – 2$ 的图像，找到它与 x 轴的交点，这些交点的 x 坐标就是方程的解。

1. 绘制图像： 使用绘图工具（例如，在线绘图器 Desmos、GeoGebra 或图形计算器）绘制函数 $y = x^2 – 3x – 2$ 的图像。

2. 寻找交点： 观察图像，找出曲线与 x 轴的交点。 你会发现有两个交点。

3. 读取解： 估计（或读取精确值，如果绘图工具允许）这两个交点的 x 坐标。 这些 x 坐标就是方程的近似解。 通过观察图像可以大致估计解为 x ≈ 3.56 和 x ≈ -0.56。

虽然图像法可以提供直观的理解，但通常只能得到近似解。要获得精确解，还是需要使用公式法或配方法。

总结与比较

• 公式法： 最直接，最快速的方法，适用于所有一元二次方程。只需要记住公式，并正确代入数值即可。

• 配方法： 虽然步骤稍微繁琐，但它揭示了二次方程解的本质，有助于理解公式的由来。配方法也是解决某些特殊类型的二次方程的有效手段。

• 图像法： 直观地展示了方程解的几何意义，但通常只能获得近似解，精度不如前两种方法。

对于 $x^2 – 3x – 2 = 0$，公式法是最推荐的方法，它快速且准确。 配方法则是一种有益的练习，可以加深对二次方程的理解。 图像法则提供了一个可视化的视角。