问题的引入：一个简单的二次方程
方程 x² – 2x – 2 = 0 看起来简洁明了，但它蕴含着数学之美。这是一个典型的二次方程，目标是找到满足此方程的 x 值，也就是方程的解。
解法一：公式法——万能钥匙
对于任何形如 ax² + bx + c = 0 的二次方程，都可以使用求根公式求解：
x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)
在这个例子中，a = 1, b = -2, c = -2。 代入公式，得到：
x = [2 ± √((-2)² – 4 * 1 * -2)] / (2 * 1)
x = [2 ± √(4 + 8)] / 2
x = [2 ± √12] / 2
x = [2 ± 2√3] / 2
x = 1 ± √3
因此，方程有两个解： x₁ = 1 + √3 和 x₂ = 1 – √3。
解法二：配方法——优雅的变形
配方法通过将二次方程转化为完全平方的形式来求解。 步骤如下：
-
将常数项移到等式右边：
x² – 2x = 2 -
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，使得左边成为完全平方式。 一次项系数是-2，一半是-1，(-1)² = 1。
x² – 2x + 1 = 2 + 1 -
将左边写成完全平方的形式：
(x – 1)² = 3 -
两边开方：
x – 1 = ±√3 -
解出 x：
x = 1 ± √3
同样得到两个解：x₁ = 1 + √3 和 x₂ = 1 – √3。 配方法更强调方程的结构，能更深入理解方程的本质。
解法三：图像法——直观的呈现
将方程 y = x² – 2x – 2 看作一个二次函数。方程 x² – 2x – 2 = 0 的解实际上就是函数 y = x² – 2x – 2 与 x 轴的交点。
- 函数图像： 抛物线，开口向上 (因为 x² 项系数为正)。
- 顶点： 顶点坐标的横坐标为 -b / 2a = -(-2) / (2 * 1) = 1。 将 x = 1 代入 y = x² – 2x – 2 得到 y = 1 – 2 – 2 = -3。 所以顶点坐标为 (1, -3)。
- 与 x 轴的交点： 即方程的解。 从图像上可以看出，抛物线与x轴有两个交点，分别在x=1的左右两侧。具体数值可以通过公式法或者配方法算出。
利用绘图工具（例如Desmos、GeoGebra），可以直观地看到抛物线与x轴的交点坐标约为(2.73,0) 和 (-0.73,0), 这就是解 1 + √3 ≈ 2.73 和 1 – √3 ≈ -0.73 的可视化表达。
解的性质与验证
- 无理数解： 解 1 + √3 和 1 – √3 都是无理数，这意味着它们不能表示成两个整数的比值。
- 共轭形式： 两个解呈共轭形式，即 a + √b 和 a – √b 的形式，这是因为平方根的存在。
- 代入验证： 将解代入原方程，可以验证它们是否正确。 例如，将 x = 1 + √3 代入：
(1 + √3)² – 2(1 + √3) – 2 = (1 + 2√3 + 3) – 2 – 2√3 – 2 = 4 + 2√3 – 4 – 2√3 = 0。 验证成功。
总结
方程 x² – 2x – 2 = 0 的解为 x₁ = 1 + √3 和 x₂ = 1 – √3。 我们通过公式法、配方法和图像法三种不同的方法求解了这个问题。 每种方法都有其独特的优势和视角，帮助我们更全面地理解二次方程的本质和解的意义。 无论使用哪种方法，最终都殊途同归，得到了相同的答案。 这个看似简单的方程，体现了数学的统一性和多样性。