x² – 4x – 5 = 0 的解方程，我们有多种方法可以搞定它！

方法一：十字相乘法（也叫因式分解法）

这可能是最快捷的方法之一，尤其当你的火眼金睛能迅速找出合适的数字组合时。

• 思路： 我们要把 x² – 4x – 5 分解成 (x + a)(x + b) 的形式，然后让每个括号里的式子等于零，就能解出 x 的值。

• 步骤：

  1. 找到两个数，它们的乘积是 -5，加和是 -4。 稍微想一下，这两个数是 1 和 -5。
  2. 所以，我们可以把原方程写成：(x + 1)(x – 5) = 0
  3. 接下来，让每个括号等于零：
     • x + 1 = 0 => x = -1
     • x – 5 = 0 => x = 5

• 结论： 所以，方程的解是 x = -1 和 x = 5。

方法二：配方法

配方法稍稍复杂一些，但它更具通用性，即使因式分解不容易进行，它也能派上用场。

• 思路： 把方程转化成 (x + a)² = b 的形式，然后开平方，求解 x。

• 步骤：

  1. 把常数项移到等号右边： x² – 4x = 5
  2. 在等号两边同时加上一次项系数一半的平方。 一次项系数是 -4，它的一半是 -2，(-2)² = 4。 所以，x² – 4x + 4 = 5 + 4
  3. 左边现在是一个完全平方： (x – 2)² = 9
  4. 两边开平方： x – 2 = ±3
  5. 解出 x：
     • x – 2 = 3 => x = 5
     • x – 2 = -3 => x = -1

• 结论： 方程的解仍然是 x = -1 和 x = 5。

方法三：公式法 (求根公式)

公式法就像一个万能钥匙，任何一元二次方程都可以用它来打开。

• 思路： 对于一般形式的方程 ax² + bx + c = 0， 其解可以由以下公式直接得出：

  x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

• 步骤：

  1. 识别系数： 在我们的方程 x² – 4x – 5 = 0 中， a = 1, b = -4, c = -5。

  2. 代入公式：

     x = ( -(-4) ± √((-4)² – 4 * 1 * -5) ) / (2 * 1)
     x = ( 4 ± √(16 + 20) ) / 2
     x = ( 4 ± √36 ) / 2
     x = ( 4 ± 6 ) / 2

  3. 分别计算：

     • x = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5
     • x = (4 – 6) / 2 = -2 / 2 = -1

• 结论： 不用说，方程的解还是 x = -1 和 x = 5。

总结

三种方法各有千秋。 十字相乘法快速简洁，但依赖于你的分解能力。 配方法更通用，但步骤稍多。 公式法万无一失，但要记住公式并小心计算。 无论选择哪种，最终结果都是一样的！