基础解法：因式分解
这是最直接也是最常用的方法。我们的目标是把 $x^2 – 2x – 3 = 0$ 分解成两个一次因式的乘积。
观察 -3，我们可以考虑它的因数分解：-3 = 1 * -3 = -1 * 3。 我们寻找两个因数，它们的和等于 -2 (x的系数)。显然，1和-3满足条件。
因此，我们可以将方程改写为：
$(x + 1)(x – 3) = 0$
要使这个等式成立，要么 $(x + 1) = 0$ 要么 $(x – 3) = 0$。
- 如果 $x + 1 = 0$，那么 $x = -1$。
- 如果 $x – 3 = 0$，那么 $x = 3$。
所以，方程的解集是 {-1, 3}。
高级解法：公式法 (求根公式)
对于任何形式为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的二次方程，我们都可以使用求根公式来求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
在这个例子中，$a = 1$, $b = -2$, $c = -3$。 将这些值代入公式：
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-3)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$
$x = \frac{2 \pm 4}{2}$
因此，我们得到两个解：
- $x = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
- $x = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
同样，解集是 {-1, 3}。
图像解法：抛物线与x轴的交点
函数 $y = x^2 – 2x – 3$ 的图像是一个抛物线。 方程 $x^2 – 2x – 3 = 0$ 的解，实际上就是抛物线与x轴的交点的x坐标。
你可以想象或者使用绘图软件画出这条抛物线。 抛物线与x轴的交点分别是 (-1, 0) 和 (3, 0)。 因此，解就是 x = -1 和 x = 3。 这种方法虽然不如前两种精确，但是可以帮助你更好地理解二次方程的几何意义。
配方法：另一种思路
配方法是将二次方程转化为完全平方的形式。 步骤如下：
- 将常数项移到等式右边： $x^2 – 2x = 3$
- 在等式两边同时加上 $(b/2)^2$，这里 $b = -2$，所以 $(b/2)^2 = (-2/2)^2 = 1$。 方程变为：$x^2 – 2x + 1 = 3 + 1$
- 将左边写成完全平方的形式： $(x – 1)^2 = 4$
- 两边同时开平方根： $x – 1 = \pm 2$
- 解出x: $x = 1 \pm 2$
因此，$x = 1 + 2 = 3$ 或者 $x = 1 – 2 = -1$。 解集仍然是 {-1, 3}。
总结
无论使用因式分解、公式法、图像法还是配方法，方程 $x^2 – 2x – 3 = 0$ 的解集都是 {-1, 3}。 选择哪种方法取决于个人的偏好和具体情况。 因式分解通常是最快的，但不是所有二次方程都能轻易地进行因式分解。 公式法适用于任何二次方程。 理解不同的解法可以帮助你更深入地理解二次方程的本质。