一、问题陈述
我们需要求解一元二次方程：x² – 3x – 2 = 0。 换句话说，找出所有满足这个等式的x的值。
二、常规解法：公式法
公式法是求解一元二次方程的通用方法。对于一般形式 ax² + bx + c = 0，解为：
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
在这个例子中，a = 1, b = -3, c = -2。 代入公式：
x = (3 ± √((-3)² – 4 * 1 * -2)) / (2 * 1)
x = (3 ± √(9 + 8)) / 2
x = (3 ± √17) / 2
因此，方程有两个解：
x₁ = (3 + √17) / 2
x₂ = (3 – √17) / 2
三、配方法：理解公式的来源
配方法可以将方程变形为 (x – h)² = k 的形式，从而更容易求解。 步骤如下：
- 移项： x² – 3x = 2
-
配方： 为了让左边变成完全平方项，我们需要加上 (b/2)²，即 (-3/2)² = 9/4。 方程两边同时加上 9/4：
x² – 3x + 9/4 = 2 + 9/4
(x – 3/2)² = 17/4
3. 开方： 两边开平方根：x – 3/2 = ±√(17/4)
x – 3/2 = ±√17 / 2
4. 求解： 移项得到 x：x = 3/2 ± √17 / 2
x = (3 ± √17) / 2
可以看到，配方法得出的结果和公式法相同。 配方法本质上是在推导公式法。
四、图像解法：直观感受解的存在
考虑函数 y = x² – 3x – 2。 解 x² – 3x – 2 = 0 等价于寻找这个函数与 x 轴的交点。
- 这是一个开口向上的抛物线 (因为 x² 的系数是正的)。
- 抛物线的对称轴是 x = -b / 2a = 3 / 2 = 1.5。
- 抛物线与 y 轴的交点是 (0, -2)。
由于抛物线开口向上，且与 y 轴交于负值，这意味着抛物线必然与 x 轴有两个交点，对应于方程的两个实数解。 可以使用绘图工具（如 Desmos 或 Geogebra）绘制这个函数，验证结果，更直观地理解方程的解。
五、近似解法：牛顿迭代法 (拓展)
如果我们只需要近似解，可以使用数值方法，例如牛顿迭代法。 牛顿迭代法的迭代公式是：
xₙ₊₁ = xₙ – f(xₙ) / f'(xₙ)
其中 f(x) = x² – 3x – 2, f'(x) = 2x – 3。 选择一个初始值 x₀, 然后迭代计算 x₁, x₂, … 直到收敛到一个稳定的值。
例如，选择 x₀ = 0：
x₁ = 0 – (-2) / (-3) = -2/3 ≈ -0.667
x₂ = -0.667 – ((-0.667)² – 3(-0.667) – 2) / (2(-0.667) – 3) ≈ -0.541
… （继续迭代）
最终会收敛到 x ≈ -0.56155。类似地，选择一个大于 3 的初始值，迭代结果会收敛到另一个解。
六、总结与反思
- 公式法是最直接的解法，适用于任何一元二次方程。
- 配方法揭示了公式法的来源，帮助我们更好地理解求解过程。
- 图像法提供了直观的理解，可以看到解的存在性和大致位置。
- 牛顿迭代法是一种数值方法，可以求得近似解，尤其在公式法难以使用或无法得到精确解的情况下。
方程 x² – 3x – 2 = 0 有两个实数解，可以精确表示为 (3 + √17) / 2 和 (3 – √17) / 2。 这些解代表抛物线 y = x² – 3x – 2 与 x 轴的交点。