x² – x – 1 = 0 这个方程，看起来挺眼熟的吧？没错，这就是著名的黄金分割比例的方程！ 要解它，我们得拿出一些看家本领。

方法一：万能的公式法 (又称求根公式)

这是最直接也是最通用的方法。 对于任何形如 ax² + bx + c = 0 的一元二次方程，它的解都可以用公式表示：

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)

在这个方程里，a = 1, b = -1, c = -1。 代入公式：

x = [-(-1) ± √((-1)² – 4 * 1 * -1)] / (2 * 1)
x = [1 ± √(1 + 4)] / 2
x = [1 ± √5] / 2

所以，这个方程有两个解：

• x₁ = (1 + √5) / 2 (这就是黄金分割比例 ≈ 1.618)
• x₂ = (1 – √5) / 2 (大约是 -0.618)

方法二：配方法 (给它变个形)

配方法的核心思想是把方程变成 (x + m)² = n 的形式。 这样我们就可以直接开平方根求解了。

x² – x – 1 = 0

1. 先把常数项移到等号右边： x² – x = 1

2. 现在关键来了：配方！ 我们想要左边变成一个完全平方。 注意到 (x – 1/2)² = x² – x + 1/4。 所以，我们需要在等式两边同时加上 1/4：

   x² – x + 1/4 = 1 + 1/4

3. 现在左边就是一个完全平方了：(x – 1/2)² = 5/4

4. 两边同时开平方：x – 1/2 = ±√(5/4) = ±√5 / 2

5. 移项：x = 1/2 ± √5 / 2 = (1 ± √5) / 2

看到了吗？ 结果和公式法一模一样！

方法三： 来点几何直觉 (黄金矩形登场!)

虽然这个方法不能直接给出数值解，但它可以帮助你理解为什么这个方程的解如此特殊。

想象一个黄金矩形，它的长和宽的比是黄金分割比例 (也就是我们的 x₁)。 如果从这个矩形中切掉一个正方形，剩下的仍然是一个和原来相似的矩形。

这个几何关系对应着这样的方程：

原始矩形的长/宽 = (x + 1) / x = x

整理一下，就得到了 x² = x + 1，也就是 x² – x – 1 = 0。

所以，求解这个方程，实际上就是在寻找一个满足黄金分割比例的数字。

总结：

x² – x – 1 = 0 的解是 x = (1 ± √5) / 2。 掌握公式法和配方法，你就可以轻松解决这类问题。 而理解它与黄金分割比例的联系，则能让你对数学之美有更深的体会。 下次再遇到它，你就能自信地说：“这个我熟！”