求解方程 4x² – x – 9 = 0，我们需要用到一些代数知识。可以采用多种方法，下面我们一一讲解：
一、公式法（求根公式）
这是最通用的方法，适用于任何一元二次方程 ax² + bx + c = 0。求根公式如下：
x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)
在这个问题中，a = 4，b = -1，c = -9。 代入公式：
x = [-(-1) ± √((-1)² – 4 * 4 * -9)] / (2 * 4)
x = [1 ± √(1 + 144)] / 8
x = [1 ± √145] / 8
因此，方程的两个解为：
- x₁ = (1 + √145) / 8 ≈ 1.631
- x₂ = (1 – √145) / 8 ≈ -1.381
公式法总结： 简单直接，只要记住公式，带入计算即可。但是，计算量相对较大，尤其是在根号内数字比较复杂的情况下。
二、配方法
配方法的核心思想是将一元二次方程转化为 (x + m)² = n 的形式，然后通过开平方根来求解。步骤如下：
-
系数化为1: 将二次项系数化为1。 方程两边同时除以4：
x² – (1/4)x – 9/4 = 0
2. 移项: 将常数项移到等式右边：x² – (1/4)x = 9/4
3. 配方: 等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 一次项系数是 -1/4，它的一半是 -1/8， (-1/8)² = 1/64。 所以：x² – (1/4)x + 1/64 = 9/4 + 1/64
4. 化简: 将等式左边写成完全平方的形式，右边通分：(x – 1/8)² = 144/64 + 1/64
(x – 1/8)² = 145/64
5. 开平方: 等式两边开平方根：x – 1/8 = ±√(145/64)
x – 1/8 = ±√145 / 8
6. 求解: 解出x：x = 1/8 ± √145 / 8
x = (1 ± √145) / 8
结果与公式法完全一致！
配方法总结： 配方法需要一定的技巧，但能够加深对一元二次方程结构的理解。 在系数比较简单的情况下，配方法可能比公式法更简洁。
三、十字相乘法（尝试因式分解）
十字相乘法适用于可以因式分解的一元二次方程。 我们需要找到两个数，它们的乘积等于 4 * -9 = -36，它们的和等于 -1。 经过尝试，并没有找到合适的整数解。
为什么这里需要尝试两个数的乘积等于4 * -9 = -36呢？
因为我们需要分解成 (ax + c)(dx + e)的形式，展开后得到 adx² + (ae+cd)x + ce。 而我们需要ad=4, ae+cd = -1, ce=-9。如果a, c, d, e都是整数，那么很容易通过十字相乘法解出来。如果找不到整数解，就说明不能直接通过十字相乘法分解。
十字相乘法总结： 如果方程可以因式分解，十字相乘法是最快捷的方法。但并不是所有的方程都能因式分解，所以这种方法具有局限性。 对于4x² – x – 9 = 0， 使用十字相乘法尝试失败，这也印证了之前求根公式得到的解中包含根号，这意味着它不能被分解成简单的整数因式。
总结
对于 4x² – x – 9 = 0 这个方程， 公式法和配方法是通用且可靠的解法。 虽然公式法直接套用公式，但配方法能更好地理解方程的结构。 十字相乘法在这里并不适用，因为它无法分解成简单的整数因式。
最终，我们得到两个解：
- x₁ = (1 + √145) / 8 ≈ 1.631
- x₂ = (1 – √145) / 8 ≈ -1.381