设二次方程为 a² + a – 1 = 0。这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学内涵，我们可以从不同角度深入剖析。

一、直接求解：利用求根公式

最直接的方法就是运用一元二次方程的求根公式。对于形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其根为：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

在本例中，a = 1, b = 1, c = -1。 代入求根公式：

a = (-1 ± √(1² – 4 * 1 * -1)) / (2 * 1)

a = (-1 ± √5) / 2

因此，方程 a² + a – 1 = 0 有两个实数解：

• a₁ = (-1 + √5) / 2 (即黄金分割比例 φ ≈ 0.618)
• a₂ = (-1 – √5) / 2 (即 -1/φ ≈ -1.618)

二、图像角度：抛物线与 x 轴的交点

从图像的角度来看，方程 a² + a – 1 = 0 对应于函数 y = a² + a – 1 的图像与 x 轴的交点。 y = a² + a – 1 是一个开口向上的抛物线。通过计算顶点坐标，我们可以更清楚地了解抛物线的形态。 顶点的 x 坐标是 -b/2a = -1/2。 将 x = -1/2 代入方程，得到顶点的 y 坐标为 (-1/2)² + (-1/2) – 1 = -5/4。 因此，抛物线的顶点坐标为 (-1/2, -5/4)。 因为顶点在 x 轴下方，且抛物线开口向上，所以它必然与 x 轴有两个交点，对应于方程的两个实数根。

三、变形与迭代：寻找规律

我们可以将方程进行变形，尝试寻找迭代的规律：

• a² = 1 – a
• a = 1/ (a + 1)

这个变形很有意思。如果我们选择一个初始值 a₀，然后迭代计算 a₁ = 1/(a₀ + 1), a₂ = 1/(a₁ + 1), a₃ = 1/(a₂ + 1)… 最终结果将逼近黄金分割比例 φ。 这种迭代方法也体现了不动点的思想，即 a = 1/(a + 1) 的解就是不动点。

四、黄金分割与斐波那契数列：深刻的联系

方程 a² + a – 1 = 0 的解，特别是 a₁ = (-1 + √5) / 2，正是著名的黄金分割比例 φ (phi)。 黄金分割广泛存在于自然界、艺术和建筑中，被认为是美的象征。它与斐波那契数列有着密切的联系。

斐波那契数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… 中，后一项与前一项的比值，随着数列的递增，会越来越接近黄金分割比例 φ。 数学表达式为：lim (n→∞) F(n+1) / F(n) = φ，其中 F(n) 表示斐波那契数列的第 n 项。

五、矩阵与线性代数：更高级的视角

我们可以将方程 a² + a – 1 = 0 与矩阵联系起来。考虑一个 2×2 的矩阵：

M = | 0 1 |
| 1 1 |

M 的特征多项式为 det(M – λI) = λ² – λ – 1 = 0。 这与我们的原始方程 a² + a – 1 = 0 非常相似，仅仅是变量名称不同。 矩阵 M 的特征值就是方程的解，也就是黄金分割比例及其负倒数。 这种方法展示了如何使用线性代数工具来分析二次方程。

六、构造几何图形：视觉化的理解

我们可以通过几何图形来构造方程的解。例如，画一个边长为 1 的正方形，取其一半，然后以这一半长度为半径画弧，与正方形的边延长线相交，交点到正方形顶点的距离就是黄金分割比例 φ。 这种构造方法可以更直观地理解黄金分割的来源。

总结

a² + a – 1 = 0 这个看似简单的方程，蕴含了深刻的数学思想。从直接求解、图像分析、迭代逼近到与黄金分割、斐波那契数列以及线性代数的联系，我们从多个角度理解了这个问题的本质。 这不仅仅是一个解方程的问题，更是一个探索数学之美的过程。理解这个问题，能够帮助我们更好地理解数学的各个分支之间的联系，以及数学在自然界和人类文化中的广泛应用。