a² – 1² 等于什么？ 答案是 (a+1)(a-1)，或者说，a² – 1。

让我们从不同的角度来拆解这个简单的代数式：

1. 朴素的代数展开式：

这是最直接的方式。我们知道任何数的平方，就是它自身乘以自身。所以，1² 等于 1 * 1 = 1。 因此，表达式就变成了 a² – 1。没有进一步化简的必要，这就是答案。

2. 平方差公式的威力：

这里才是这个表达式的真正价值所在。它完美地展示了平方差公式：

• 公式： x² – y² = (x + y)(x – y)

在这个公式中，将 x 替换为 a，将 y 替换为 1，我们就得到了：

a² – 1² = (a + 1)(a – 1)

这就是因式分解的结果。使用平方差公式能够将一个减法运算转化为两个加法/减法运算的乘积，在很多复杂的代数运算中非常有用。

3. 几何解释：

想象一个边长为 ‘a’ 的正方形，它的面积是 a²。 然后，在这个正方形上挖去一个边长为 ‘1’ 的小正方形。剩下的面积就是 a² – 1。

现在，如果我们把剩下的图形切割重组，就可以拼成一个矩形，这个矩形的长是(a+1)，宽是(a-1)， 它的面积仍然是 (a+1)(a-1)，这和我们代数运算的结果完全一致。

4. 数值验证：

让我们代入几个数字来验证一下：

• 假设 a = 5：

  • a² – 1² = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
  • (a + 1)(a – 1) = (5 + 1)(5 – 1) = 6 * 4 = 24

• 假设 a = 10：

  • a² – 1² = 10² – 1² = 100 – 1 = 99
  • (a + 1)(a – 1) = (10 + 1)(10 – 1) = 11 * 9 = 99

无论 a 取何值，两种计算方式的结果都相同，再次验证了平方差公式的正确性。

5. 应用场景：

平方差公式在简化计算，因式分解，以及解决一些几何问题中都有广泛应用。例如，在求解一些复杂的方程时，可以先利用平方差公式进行因式分解，从而简化问题。

总结：

a² – 1² 最终等于 (a+1)(a-1)，也可以直接写成 a² – 1。虽然看似简单，但它完美地展现了平方差公式的精髓，并且在数学的各个领域都有着重要的应用。理解并掌握它，能够为解决更复杂的问题打下坚实的基础。