x² – 4x – 5 = 0

这个简单的二次方程，却蕴含着丰富的数学知识和多种解法。让我们从不同角度切入，将它彻底剖析。

一、因式分解法：最直接的优雅

这是最快捷也最优雅的方法，前提是你对数字的敏感度足够高。我们的目标是将左侧分解成两个一次因式的乘积：

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

对比原方程 x² – 4x – 5 = 0，我们需要找到两个数 a 和 b，满足：

• a + b = -4
• a * b = -5

稍加思考，便可发现 a = 1，b = -5 符合要求。因此，原方程可以分解为：

(x + 1)(x – 5) = 0

这意味着，要么 x + 1 = 0，要么 x – 5 = 0。 所以：

• x₁ = -1
• x₂ = 5

二、公式法：万能钥匙，适用任何场景

公式法是解决二次方程的万能钥匙，它适用于任何形式的二次方程 ax² + bx + c = 0。 公式如下：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

对于我们的方程 x² – 4x – 5 = 0，a = 1，b = -4，c = -5。代入公式：

x = (4 ± √((-4)² – 4 * 1 * -5)) / (2 * 1)
x = (4 ± √(16 + 20)) / 2
x = (4 ± √36) / 2
x = (4 ± 6) / 2

因此，我们得到两个解：

• x₁ = (4 + 6) / 2 = 5
• x₂ = (4 – 6) / 2 = -1

三、配方法：化简为繁，深刻理解

配方法略显繁琐，但它能帮助我们更深刻地理解二次方程的本质。它的核心思想是将方程转化成完全平方的形式：(x + m)² = n。

首先，将常数项移到等号右侧：

x² – 4x = 5

接下来，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，即 (-4 / 2)² = 4：

x² – 4x + 4 = 5 + 4

现在，左侧可以写成完全平方的形式：

(x – 2)² = 9

两边开平方：

x – 2 = ±3

因此：

• x₁ = 2 + 3 = 5
• x₂ = 2 – 3 = -1

四、图像法：直观感受，几何意义

我们可以将方程 x² – 4x – 5 = 0 看作是函数 y = x² – 4x – 5 的图像与 x 轴的交点。 抛物线 y = x² – 4x – 5 与 x 轴的交点，其横坐标就是方程的解。

通过绘制图像 (例如使用 Desmos 或 Geogebra)，我们可以清晰地看到抛物线与 x 轴有两个交点，分别位于 x = -1 和 x = 5。这与我们之前的计算结果一致。图像法提供了一种直观的验证方式。

总结：殊途同归，融会贯通

通过因式分解、公式法、配方法和图像法，我们从代数和几何两个层面深入理解了方程 x² – 4x – 5 = 0。 每种方法都各有特点，适合不同的场景和不同的思维方式。 理解这些方法背后的逻辑，才能真正掌握解决二次方程的精髓，并在更复杂的数学问题中游刃有余。最终，我们都得到了相同的解：x₁ = -1 和 x₂ = 5。