解题思路一：因式分解法

这是最快捷也是最优雅的解法，适用于一些可以明显分解成两个一次因式乘积的二次方程。

原方程：x² – x – 2 = 0

观察方程，我们需要找到两个数，它们的乘积是-2，和是-1（x的系数）。这两个数分别是-2和1。

因此，我们可以把方程写成：(x – 2)(x + 1) = 0

现在，根据零积性质（如果两个数的乘积是0，那么至少有一个数是0），我们得到两个可能的解：

• x – 2 = 0 => x = 2
• x + 1 = 0 => x = -1

所以，方程的解是x = 2 和 x = -1。

解题思路二：公式法（求根公式）

当因式分解比较困难或者看不出来时，万能的求根公式就派上用场了！任何一元二次方程都可以用它来解。

对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0，求根公式是：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

回到我们的方程：x² – x – 2 = 0，这里 a = 1, b = -1, c = -2。

把这些值代入求根公式：

x = (-(-1) ± √((-1)² – 4 * 1 * -2)) / (2 * 1)
x = (1 ± √(1 + 8)) / 2
x = (1 ± √9) / 2
x = (1 ± 3) / 2

因此，我们得到两个解：

• x = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
• x = (1 – 3) / 2 = -2 / 2 = -1

与因式分解法的结果一致，方程的解是 x = 2 和 x = -1。

解题思路三：配方法

配方法是一种将二次方程转化为完全平方形式的方法，虽然稍微麻烦一些，但能帮助我们更好地理解二次方程的结构。

1. 将常数项移到等号右边：

   x² – x = 2

2. 为了把左边配成完全平方，我们需要加上 (b/2)²，其中 b 是 x 的系数。在这个例子中，b = -1，所以 (b/2)² = (-1/2)² = 1/4。 等式两边同时加上1/4:

   x² – x + 1/4 = 2 + 1/4
   x² – x + 1/4 = 9/4

3. 现在，左边可以写成一个完全平方：

   (x – 1/2)² = 9/4

4. 两边同时开平方根：

   x – 1/2 = ± √(9/4)
   x – 1/2 = ± 3/2

5. 解出 x：

   • x = 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2
   • x = 1/2 – 3/2 = -2/2 = -1

结果仍然是 x = 2 和 x = -1。

总结

我们用三种不同的方法解决了同一个问题：x² – x – 2 = 0。

• 因式分解法：最快，但需要观察力。
• 公式法：通用性最强，不容易出错。
• 配方法：理解方程本质，但计算稍复杂。

无论选择哪种方法，最终都能得到相同的答案：x = 2 和 x = -1。 选择最适合你的方法，并熟练掌握，解二次方程就变得轻而易举了！