好的，让我们一起深入理解 y = (x – 2)² 的图像。

一、图像速览（视觉化快速认知）

首先，想象一下：这是一个笑脸（开口向上）的抛物线。抛物线的最低点（顶点）不在原点，而是沿着x轴向右平移了2个单位。

[如果可能，此处可以插入一个 y = (x – 2)² 的图像]

• 形状： 抛物线
• 开口方向： 向上
• 顶点： (2, 0)
• 对称轴： x = 2

二、深度剖析（数学原理细致解读）

1. 基础原型：y = x²

   让我们从最简单的抛物线 y = x² 开始。这是一个以原点(0, 0)为顶点，对称轴为y轴的经典抛物线。

2. 平移变换：y = (x – h)²

   现在，引入一个水平平移的概念。当我们将 x 替换为 (x – h) 时，整个图像会沿着x轴平移 h 个单位。

   • h > 0： 向右平移 h 个单位
   • h < 0： 向左平移 |h| 个单位

   在我们的例子中，y = (x – 2)²，h = 2，所以图像 y = x² 向右平移了 2 个单位。

3. 顶点坐标：(h, k)

   更通用的形式是 y = (x – h)² + k。 这表示 y = x² 先水平平移 h 个单位，再垂直平移 k 个单位。 因此，顶点坐标为 (h, k)。

   对于 y = (x – 2)² 而言，相当于 y = (x – 2)² + 0，所以顶点是 (2, 0)。

4. 对称轴

   由于抛物线关于顶点对称，因此对称轴是一条穿过顶点的垂直线。 对于 y = (x – 2)² 而言，对称轴是 x = 2。

三、关键特征逐个击破（重要性质一网打尽）

• 顶点：(2, 0) —— 这是抛物线的最低点。
• 对称轴：x = 2 —— 抛物线关于这条直线对称。
• 与x轴的交点：(2, 0) —— 抛物线与x轴只有一个交点，也是顶点。
• 与y轴的交点：(0, 4) —— 当 x = 0 时，y = (0 – 2)² = 4。
• 值域：y ≥ 0 —— 由于抛物线开口向上，且顶点在x轴上，所以y的值永远大于等于0。

四、实战演练（举例说明灵活应用）

• 求当 y = 1 时，x 的值：

  1 = (x – 2)²
  ±√1 = x – 2
  x = 2 ± 1
  所以 x = 3 或 x = 1

• 比较 y = (x – 2)² 和 y = x² 的图像：

  y = (x – 2)² 的图像是 y = x² 的图像向右平移2个单位得到的。

五、拓展思考（触类旁通，更进一步）

• 如果方程是 y = -(x – 2)² 呢？

  那么图像会沿着x轴翻转，变成开口向下的抛物线，顶点仍然是 (2, 0)，对称轴仍然是 x = 2，但是值域变成了 y ≤ 0。

• 如果方程是 y = (x – 2)² + 3 呢？

  那么图像会向上平移3个单位，顶点变为 (2, 3)，对称轴仍然是 x = 2，值域变成 y ≥ 3。

六、总结与记忆技巧（化繁为简，牢记心中）

记住 y = (x – h)² + k 的图像是一个顶点为 (h, k) 的抛物线。 h 控制水平平移，k 控制垂直平移。开口方向由 x² 前面的系数决定（正为向上，负为向下）。理解这些基本概念，就能轻松掌握各种抛物线的图像了。 熟练掌握这些知识点，在解决相关问题时就能游刃有余。