x² – 4x – 5 = 0 怎么解？

这道题是一元二次方程，解法多多！咱们用几种不同的方法来把它彻底搞定。

方法一：因式分解（经典且常用）

1. 思路： 寻找两个数，它们的乘积等于常数项 -5，它们的和等于一次项系数 -4。

2. 步骤：

   • 思考：哪些数相乘等于 -5？ 答案是 -5 和 1，或者 5 和 -1。
   • 哪个组合的和是 -4 呢？ 显然是 -5 和 1。

3. 分解： 将方程分解成 (x – 5)(x + 1) = 0

4. 求解： 要使两个数的乘积等于 0， 那么这两个数中至少有一个必须是 0。 因此：

   • x – 5 = 0 => x = 5
   • x + 1 = 0 => x = -1

5. 结论： 所以，方程的解是 x₁ = 5 和 x₂ = -1。

方法二：配方法（万能解法，但稍复杂）

1. 思路： 将方程转化成 (x + a)² = b 的形式，然后开平方求解。

2. 步骤：

   • 移项： x² – 4x = 5 （把常数项移到等号右边）
   • 配方： 方程左边加上 ( -4 / 2 )² = 4，使之成为完全平方项。为了保持等式平衡，等号右边也要加 4。
     x² – 4x + 4 = 5 + 4
   • 化简： (x – 2)² = 9
   • 开平方： x – 2 = ±√9 = ±3
   • 求解：
     • x – 2 = 3 => x = 5
     • x – 2 = -3 => x = -1

3. 结论： 所以，方程的解是 x₁ = 5 和 x₂ = -1。

方法三：公式法（简单粗暴，背公式就行）

1. 思路： 直接套用一元二次方程的求根公式。

2. 公式： 对于方程 ax² + bx + c = 0，其解为：

   x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

3. 步骤：

   • 确定 a, b, c： 在方程 x² – 4x – 5 = 0 中，a = 1, b = -4, c = -5。

   • 代入公式：

     x = ( -(-4) ± √((-4)² – 4 * 1 * -5) ) / (2 * 1)
     x = ( 4 ± √(16 + 20) ) / 2
     x = ( 4 ± √36 ) / 2
     x = ( 4 ± 6 ) / 2

   • 求解：

     • x₁ = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5
     • x₂ = (4 – 6) / 2 = -2 / 2 = -1

4. 结论： 所以，方程的解是 x₁ = 5 和 x₂ = -1。

总结：

三种方法都能解出 x² – 4x – 5 = 0 的解为 x = 5 和 x = -1。 因式分解最快，配方法思路重要，公式法通用但需背诵。选择哪种方法取决于你的偏好和题目本身的特点。 例如，如果方程很容易因式分解，那就用因式分解；如果方程不容易因式分解，或者需要快速求解，那就用公式法。 配方法更多的是用于理解和推导公式。