方程的解与根：一步步揭秘x² – 4x – 7 = 0

给定方程：x² – 4x – 7 = 0。 这似乎只是一个简单的二次方程，但其背后隐藏着一些有趣的数学概念和解题技巧。 让我们深入挖掘。

方法一：配方法

配方法的核心思想是将二次表达式变形为完全平方的形式，从而简化求解过程。

1. 移项： 将常数项移到方程右边:
   x² – 4x = 7

2. 配方： 方程左边需要加上一个数，使其成为(x – a)² 的形式。 因为(x – a)² = x² – 2ax + a²，所以我们需要找到a。 观察x² – 4x，其中-4x = -2ax，得到a = 2。 因此，我们需要加上a² = 2² = 4。
   x² – 4x + 4 = 7 + 4

3. 化简： 将方程左边写成完全平方形式，右边求和。
   (x – 2)² = 11

4. 开平方： 对等式两边开平方根。
   x – 2 = ±√11

5. 求解x： 解出x的值。
   x = 2 ± √11

因此，方程的两个根是：x₁ = 2 + √11 和 x₂ = 2 – √11。

方法二：公式法（求根公式）

求根公式是解二次方程的通用方法。 对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0， 其解为：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

1. 识别系数： 在方程 x² – 4x – 7 = 0 中，a = 1, b = -4, c = -7。

2. 代入公式： 将这些值代入求根公式。
   x = (-(-4) ± √((-4)² – 4 * 1 * -7)) / (2 * 1)

3. 化简：
   x = (4 ± √(16 + 28)) / 2
   x = (4 ± √44) / 2
   x = (4 ± 2√11) / 2
   x = 2 ± √11

同样，得到两个根：x₁ = 2 + √11 和 x₂ = 2 – √11。

方法三：图像法（几何视角）

我们可以将方程 x² – 4x – 7 = 0 视为函数 y = x² – 4x – 7。 方程的解就是该函数图像与x轴的交点（即 y = 0）。

1. 绘制图像： 可以使用绘图软件或手绘该抛物线的草图。 关键点包括：

   • 顶点： 顶点坐标为 (2, -11) (通过配方法或使用顶点公式 x = -b/2a 计算得到)。
   • 对称轴： x = 2
   • 与y轴的交点： (0, -7)

2. 观察交点： 通过图像观察，抛物线与x轴有两个交点。 由于顶点位于x轴下方，且抛物线开口向上，我们知道这两个交点存在且分别位于x=2的两侧。虽然我们无法从图像上精确读出根的值，但它可以帮助我们验证结果的合理性，并且对根的分布有一个直观的认识。

根的性质和判别式

方程 x² – 4x – 7 = 0 的判别式 Δ = b² – 4ac = (-4)² – 4 * 1 * -7 = 44。

• Δ > 0：表明方程有两个不相等的实数根，这与我们通过配方法和求根公式得到的结果一致。
• 根的和： x₁ + x₂ = -b/a = -(-4)/1 = 4
• 根的积： x₁ * x₂ = c/a = -7/1 = -7

数值近似 (可选)

如果需要近似解，可以使用计算器或数值方法：

• x₁ ≈ 2 + 3.3166 = 5.3166
• x₂ ≈ 2 – 3.3166 = -1.3166

总结

我们通过配方法、公式法和图像法，详细解释了如何求解二次方程 x² – 4x – 7 = 0。 每种方法都提供了不同的视角来理解方程的本质和解的含义。 同时，我们也讨论了判别式和根的性质，加深了对二次方程的理解。 无论是理论分析还是实际应用，掌握这些知识都至关重要。