解方程 x² – 3x – 10 = 0 的方法

这是一个一元二次方程，我们可以用多种方法来解它。下面我将用几种常见的方法来详细讲解：

方法一：因式分解法 (Factorization Method)

这是最直观且高效的方法，如果方程容易分解，优先考虑这种方法。

1. 寻找两个数： 我们需要找到两个数，它们的乘积等于 -10（常数项），它们的和等于 -3（一次项的系数）。 这两个数分别是 -5 和 +2，因为 (-5) * (2) = -10 并且 (-5) + (2) = -3。

2. 分解因式： 利用找到的这两个数，将方程左边分解成两个因式的乘积：

x² – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2)

1. 令每个因式等于零： 由于 (x – 5)(x + 2) = 0，那么要么 (x – 5) = 0，要么 (x + 2) = 0。

2. 解出x：

3. x – 5 = 0 => x = 5

4. x + 2 = 0 => x = -2

所以，方程的两个解是 x₁ = 5 和 x₂ = -2。

方法二：公式法 (Quadratic Formula)

公式法是一种通用的方法，适用于所有一元二次方程。 即使方程不能用因式分解法，也可以用公式法求解。

1. 识别系数： 首先，确定方程 ax² + bx + c = 0 中的 a、b 和 c 的值。 在本题中，a = 1，b = -3，c = -10。

2. 套用公式： 将这些值代入二次公式：

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)

1. 代入数值并计算：

x = [-(-3) ± √((-3)² – 4 * 1 * -10)] / (2 * 1)
x = [3 ± √(9 + 40)] / 2
x = [3 ± √49] / 2
x = [3 ± 7] / 2

1. 分别计算两个解：

2. x₁ = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5

3. x₂ = (3 – 7) / 2 = -4 / 2 = -2

因此，方程的两个解是 x₁ = 5 和 x₂ = -2。

方法三：配方法 (Completing the Square Method)

配方法通过将方程转化为完全平方形式来求解。

1. 移项： 将常数项移到等式右边：

x² – 3x = 10

1. 配方： 为了使左边成为完全平方，我们需要加上 (b/2)²，其中 b 是 x 的系数。 在本题中，b = -3，所以我们需要加上 (-3/2)² = 9/4。 等式两边都要加：

x² – 3x + 9/4 = 10 + 9/4

1. 化简： 将左边写成完全平方的形式，并将右边通分：

(x – 3/2)² = 40/4 + 9/4
(x – 3/2)² = 49/4

1. 开平方： 等式两边同时开平方：

x – 3/2 = ±√(49/4)
x – 3/2 = ±7/2

1. 解出x：

2. x₁ = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5

3. x₂ = 3/2 – 7/2 = -4/2 = -2

所以，方程的两个解是 x₁ = 5 和 x₂ = -2。

总结

无论使用哪种方法，我们都得到了相同的解： x = 5 和 x = -2。 选择哪种方法取决于个人偏好和方程的特点。 对于本题来说，因式分解法最简单快捷，但公式法是通用的，配方法则更多地用于理论推导。希望以上详细的解释能够帮助你理解如何解决这类问题。