好，让我们深入剖析方程 a² + 2a – 1 = 0。
一、基础解法：公式法（一元二次方程的万能钥匙）
首先，这是个标准的一元二次方程，形如 ax² + bx + c = 0。 对于我们的方程，a=1, b=2, c=-1。
公式法，也就是求根公式，是解决这类问题的利器：
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
代入我们的数值：
a = (-2 ± √(2² – 4 * 1 * -1)) / (2 * 1)
a = (-2 ± √(4 + 4)) / 2
a = (-2 ± √8) / 2
a = (-2 ± 2√2) / 2
a = -1 ± √2
所以，方程的两个解是:
- a₁ = -1 + √2
- a₂ = -1 – √2
二、配方法：将方程化为完全平方形式
配方法的核心思想是将二次三项式配成一个完全平方式。
- 将常数项移到等式右边： a² + 2a = 1
- 等式两边同时加上一次项系数一半的平方： a² + 2a + 1 = 1 + 1
- 左边变成完全平方式： (a + 1)² = 2
- 两边开平方： a + 1 = ±√2
- 移项： a = -1 ± √2
同样得到：
- a₁ = -1 + √2
- a₂ = -1 – √2
三、图像法：用抛物线理解方程的根
可以将方程 a² + 2a – 1 = 0 视为函数 y = a² + 2a – 1。 这个函数是一个开口向上的抛物线。 方程的解就是抛物线与 x 轴的交点（y = 0）。
- 抛物线的顶点坐标是 (-1, -2)。 可以通过配方法 (a+1)² – 2 得到。
- 由于抛物线顶点在 x 轴下方，且开口向上，所以它必然与 x 轴有两个交点，也就是方程有两个实根。
- 两个交点的位置分别在x=-1的左右两侧，分别是 -1 + √2和-1 – √2。
这个方法更直观地展示了解的存在和近似值。
四、近似解法（不常用，但有助于理解）
如果没有计算器，或者只需要一个近似值，我们可以尝试一些估算：
- √2 ≈ 1.414
那么：
- a₁ ≈ -1 + 1.414 ≈ 0.414
- a₂ ≈ -1 – 1.414 ≈ -2.414
这是一种快速得到粗略答案的方法，虽然精度不高。
五、韦达定理的应用（深入理解根与系数的关系）
韦达定理描述了一元二次方程根与系数的关系。对于方程 ax² + bx + c = 0，设两根为 x₁ 和 x₂，那么：
- x₁ + x₂ = -b/a
- x₁ * x₂ = c/a
在我们的方程中，a=1, b=2, c=-1。 因此：
- a₁ + a₂ = -2/1 = -2
- a₁ * a₂ = -1/1 = -1
我们可以验证一下我们求出的根：
- (-1 + √2) + (-1 – √2) = -2 （正确）
- (-1 + √2) * (-1 – √2) = (-1)² – (√2)² = 1 – 2 = -1 （正确）
这证明了我们求出的根是正确的，也进一步体现了韦达定理的强大之处。
总结：
方程 a² + 2a – 1 = 0 有两个实根，分别是 -1 + √2 和 -1 – √2。 我们使用了公式法、配方法、图像法、近似解法和韦达定理等多种方法进行了求解和验证。 每种方法都从不同的角度揭示了方程的本质，帮助我们更深入地理解一元二次方程。