方程 x² – 9 = 0 的解集,是一个看似简单,实则蕴含丰富数学概念的问题。让我们从不同角度来剖析它。
1. 直截了当的代数解法:
这是最直接的方法。我们把方程变形:
x² = 9
然后两边同时开平方,得到:
x = ±√9
所以, x = ±3
因此,解集为 {-3, 3}。 也就是说,方程有两个解,分别是-3和3。
2. 因式分解的技巧:
我们可以利用平方差公式,将方程左边分解成两个因式的乘积:
x² – 9 = (x – 3)(x + 3) = 0
根据乘法法则,如果两个数的乘积为零,那么至少有一个数为零。 所以,要么 x – 3 = 0,要么 x + 3 = 0。
如果 x – 3 = 0,那么 x = 3。
如果 x + 3 = 0,那么 x = -3。
因此,解集同样是 {-3, 3}。 这种方法强调了代数结构的变换。
3. 图形化的理解:
我们可以将方程看作两个函数的交点问题。 令 y = x² 和 y = 9。 那么,方程 x² – 9 = 0 就等价于求这两个函数图像的交点。
- y = x² 的图像是一个开口向上的抛物线,顶点在原点 (0, 0)。
- y = 9 的图像是一条水平直线,与 y 轴交于点 (0, 9)。
这两个图像在两个点相交,它们的 x 坐标分别是 -3 和 3。这就是方程的两个解,图像直观地展示了解的存在性。
4. 集合表示的严谨性:
解集是所有满足方程 x² – 9 = 0 的 x 值的集合。 用集合符号表示,解集就是:
{x | x ∈ ℝ, x² – 9 = 0} = {-3, 3}
这里,ℝ 表示实数集, “∈” 表示“属于”。 这种表示方法强调了解集的定义和性质。
5. 根与系数的关系(更高级的视角):
对于一般的二次方程 ax² + bx + c = 0,如果方程有两个根 x₁ 和 x₂,那么有以下关系:
- x₁ + x₂ = -b/a
- x₁ * x₂ = c/a
在本题中,a = 1, b = 0, c = -9。
所以, x₁ + x₂ = 0, x₁ * x₂ = -9。 很明显,满足这两个条件的解就是 3 和 -3。 虽然对于这么简单的方程来说有点大材小用,但这种方法展示了根与系数之间的深层联系,也为解决更复杂的方程提供了思路。
总结:
方程 x² – 9 = 0 的解集为 {-3, 3}。我们从代数计算、因式分解、图形表示、集合定义和根与系数的关系等多个角度分析了这个问题,展现了数学解题的多样性和深度。理解这些不同的方法,可以帮助我们更好地掌握数学知识,并灵活地解决各种问题。