方法一：因式分解法

这是解这类二次方程最常用的方法之一，它简洁明了。

1. 观察方程： x² – x – 6 = 0

2. 寻找两个数： 我们需要找到两个数，它们的乘积是 -6 (常数项)，它们的和是 -1 (x的系数)。这两个数分别是 -3 和 +2，因为 (-3) * (2) = -6 且 (-3) + (2) = -1。

3. 因式分解： 将方程左侧分解为两个一次因式的乘积：
   (x – 3)(x + 2) = 0

4. 解方程： 当两个数的乘积为零时，至少有一个数必须为零。因此，我们有两个可能性：

   • x – 3 = 0 => x = 3
   • x + 2 = 0 => x = -2

所以，方程的解为 x = 3 和 x = -2。

方法二：公式法（求根公式）

对于任何形式为 ax² + bx + c = 0 的二次方程，都可以使用求根公式。

1. 识别系数： 在我们的方程 x² – x – 6 = 0 中，a = 1，b = -1，c = -6。

2. 应用公式： 求根公式是：
   x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

3. 代入值： 将 a, b, c 的值代入公式：
   x = (1 ± √((-1)² – 4 * 1 * -6)) / (2 * 1)
   x = (1 ± √(1 + 24)) / 2
   x = (1 ± √25) / 2
   x = (1 ± 5) / 2

4. 计算两个解：

   • x₁ = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3
   • x₂ = (1 – 5) / 2 = -4 / 2 = -2

所以，方程的解为 x = 3 和 x = -2。

方法三：配方法（相对复杂，但可以理解二次方程的本质）

配方法是将二次方程转换为完全平方形式来求解。

1. 移动常数项： 将常数项移动到方程的右侧：
   x² – x = 6

2. 配方： 为了使左侧成为完全平方项，我们需要加上 (b/2)²。 在这里，b = -1，所以我们需要加上 (-1/2)² = 1/4。 记住，等式两边都要加：
   x² – x + 1/4 = 6 + 1/4
   x² – x + 1/4 = 25/4

3. 转化为完全平方： 现在左侧可以写成完全平方的形式：
   (x – 1/2)² = 25/4

4. 开平方： 两边同时开平方：
   x – 1/2 = ±√(25/4)
   x – 1/2 = ±5/2

5. 解方程：

   • x₁ = 1/2 + 5/2 = 6/2 = 3
   • x₂ = 1/2 – 5/2 = -4/2 = -2

因此，方程的解为 x = 3 和 x = -2。

总结

三种方法都得到了相同的解：x = 3 和 x = -2。 因式分解法是最快捷的，公式法是最通用的，配方法则是最能理解二次方程本质的方法。 选择哪种方法取决于个人喜好和方程的具体形式。如果你能一眼看出因式，那就用因式分解法；如果想省事，就用公式法；如果想深入理解，可以尝试配方法。